高一数学必修4数乘向量新课

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1、数乘向量1.向量加法三角形法则:特点:首尾相接，首尾连特点:共起点BAO特点：共始点，连终点，指向被减2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:复习实际背景练习1:OAPB探究:相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？-a如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a).aa-aaa-aOA=a+a+aPB=(-a)+(-a)=3a=-2a定义实数与向量a的乘积是一个向量，记为a，它的模

2、

3、·

4、a

5、，如果a≠0，当>0时,a与a同向，当<0时,a与a反向。当=0时，0·a=0a=0时，·a=0实数与向量a的乘积运算叫向量的数乘运算，叫做向量a

6、的系数。aa(>0)a(<0)数乘向量的几何意义是把向量沿着的方向或的反方向放大()或缩小()二、几何意义:练习2:结论:2a+2b=2(a+b)结论:3(2a)=6a(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a≠0)，并比较。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。=数乘向量运算定律:结合律：λ(μa)=(λμa);第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.例1如图，已知a、b,作3a－2b分析：3a,2b是数乘运算3a－2b是向量的减法运算baaba3a2b3a2b3a－2b例2：计算：（1）；（2）（3）(4)(

7、+μ)(a–b)–(–μ)(a+b)=(a–b)+μ(a–b)–(a+b)+μ(a+b)=a–b+μa–μb–a–b+μa+μb=2μa–2b向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意的向量a,b以及任意实数λ,μ,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b例3：若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.解：记3m＋2n＝a①m－３n＝b②3×②得３m－９n＝３b③①－③得11n＝a－３b.∴n＝a－b④将④代入②有：m＝b＋３n＝a＋b评述：在此题求解过程中，

8、利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.例4.设x是未知向量，解方程：5(x+a)+3(x－b)=0.解：由已知得8x=－5a+3b，所以x=a+b.例5.如图所示，已知说明向量的关系。思考：如图，设点G为△ABC的重心，O为平面上任一点，设试用表示ABCOGD

9、a

10、=

11、

12、·

13、a

14、，如果≠0，当>0时,a与a同向，当<0时,a与a反向。当=0时，0·a=0a=0时，·a=0小结：类似：合并同类项提取公因式a是向量