运用导数研究函数1

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1、运用导数研究函数1一.导数的儿何意义1•曲线y=-/+3，+l过点（1,1）的切线方程为（）A.y=3x-2B.y=-3x+2C.y=1D.x=1【错解】比=曰=（一3/+6x）L=3,・・・所求切线方程为：y=3x-2【错因剖析】误以为点（1,1）在曲线y=-疋+3/+1上。求曲线上某点处的切线方程方程，与求曲线过某点处的切线方程的意义不同。前者所给点木身就是切点，而后者冇可能是切点，也冇可能不是切点，而是曲线在另一点处的切线经过了这个点。【正解】•・•点（1,1）不满足曲线y疋+3〒+1,因此点（1,1）不在曲线『=—兀彳+彳兀2+1上，设切点为P（x0,y0）

2、,则有y0=-x03+3x02+1,k=-3x02+6x0,过点P的切线方程:y4-Xq-3x02-1=（-3x02+6x0）（x-x0）将点（L1）代入上式得x0（x02-3x0+3）=0所以切点为P（0,1）,所以所求切线方程为：y=l.故选C2•在函数y=x3-8x的图象上，其切线的倾斜角小于兰的点中，坐标为整数的点的个数是（）4A.3B.2C.1D.0O解：Vy=x3-8%,yr=3x2-8e[0,l],/.2<-

3、式是2n+1-24、（2009年科数学本小题满分12分）已知函数/（x）=x4-3x2+6.（I）讨论于（兀）的单调性;（II）设点P在曲线y=/（x）±,若该曲线在点P处的切线/通过处标原点，求/的方程【解析】木小题考杏导数的应用、函数的单调性，综合题。解：(I)/"(X)=4x3-6x=4x(x+一令f(x)>0得一vx<0或x>；令f'(x)v0得工v-或0vx<2222因此，曲在区间（-半,0）和（半虫）为增函数；在区间Y厂乎）和（0爭为减函数。(II)设点P(x0,/(x0)),由/过原点知,2的方程为y=/s(x0)x,因此/(x0)=/'(x0)x,即

4、卅一3站+6—工0(4琉一6兀0)=0,整理得(工：+l)(x：_2)=(),解得x0=-迈或x0=V2o所以的方程为丿=一Ji兀或丁=4ix5.(2009天津卷理)(本小题满分12分)已知函数/(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(xeR),其中aeR(1)当a=0吋，求曲线)y.f(兀)在点(1,/(I))处的切线的斜率；2(2)当a丰一时，求函数/(兀)的单调区间与极值。木小题主要考杏导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考杳运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。(I)解：当a=0时,f(x)=x2e/•(%)=(x2

5、+2x>古好'(1)=3匕所以曲线)心于⑴在点(1J(l))处的切线的斜率为3匕(II)解：fx)=x2+(a+2)x-2a2+4a^x.2,=0,=—2d,hJc-v—ci—2.由aH—知,一2aHd—2.以下分两种情况讨论。2(1)若a>—,则-2ci

6、=3必一2“.函数/(兀)在x=a-2处取得极小值f⑺一2),Rf(a-2)=(4-3a)e(,-2・2(2)若a<—,则—2a>a—2,当兀变化时，广(x),/(Q的变化情况如卜-表：兀(-co,a-2)a-2(a—2,—2d)-2a(一2a,+co)+0—0+极小值极人值所以f(x)在(-°o,a-2),(-2a,+oo)内是增函数，在(a-2,-2°)内是减函数。函数/⑴在x=a-2处取得极大值/(a-2),且/(a-2)=(4-3a)ea~2.函数/(兀)在x=-2°处取得极小值/(-2°),月/(-2°)=3必必.5.(2009北京理)(本小题共13分)设

7、函数f(x)=xekx(k^0)(I)求曲线)匸/(兀)在点(0,/(0))处的切线方程；(II)求函数于(兀)的单调区间；(III)若函数/(兀)在区间(-1,1)内单调递增，求£的取值范围.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考杳综合分析和解决问题的能力.(I)/(x)=(l+h:)Z/(0)=l,/(0)=0,曲线y=/(对在点(0,/(0))处的切线方程为y=x.(II)由f(兀)=(1+也)严=0,得兀二一丄(RhO),k(1A若k>0,则当兀w-oo,一一时，f(x)vO,函数/(尢)单调递减，,当兀