微分中值定理证明中辅助函数的构造

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1、万方数据第29卷2009年第2期3月高师理科学刊Joumalofscience0fTe舵he瑁’Couege柚dUrIivers竹VoI．29No．2M盯．2009文章编号：1007—9831(2009)02—0010—04微分中值定理证明中辅助函数的构造宋振云，陈少元，涂琼霞(湖北职业技术学院信息技术学院。湖北孝感4320∞)摘要：由复数z+)，i与直角坐标平面上的点(工，)I)(五y∈R)的一一对应关系，将复平面与直角坐标平面看成是一致的，通过复数乘法运算构造出一系列拉格朗日中值定理证明中满足罗尔中值定理条件的辅助函数，并明

2、确指出了柯西中值定理证明中辅助函数的构造方法．关键词：微分中值定理；复数乘法；辅助函数中图分类号：0172．1文献标识码：A在微积分学里，关于拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明，除教科书上给出的方法外，不少文献也分别介绍了从不同角度进行分析研究，通过构造辅助函数，应用罗尔中值定理进行证明的方法．鉴于拉格朗日中值定理和柯西中值定理与罗尔中值定理的特殊关联关系，作者经过更详细的分析研究，通过化繁为简，从一般到特殊，找到了一种运用复数乘法运算构造符合罗尔中值定理条件的辅助函数的新的构造方法，应用这种方法可以构造出证明拉格朗日中值定理

3、和柯西中值定理所需要的各种不同形式的辅助函数，并且思路清晰，方法灵活．基于问题的需要，在介绍新的方法之前，需要明确一点：由于复数石+)Ii与直角坐标平面上的点(工，)，)(石，)，∈R)一一对应，所以，可以把复平面与直角坐标平面看成是一致的．1用复数乘法运算构造辅助函数证明拉格朗日中值定理证明1如图l所示，设曲线弦A曰的倾斜角为叫o<秒<兀，口≠罢1，则t柚矽：旦掣二丛尘．取曲线y：厂(工)上任意一点肘化厂(工))(工∈【乜，6】)，对复数z+矿(x)作复数乘法运算：o+矿(工))【cos(一日)+isin(一目)】_(工cos

4、曰+，(工)sin臼)+i(，(工)cos口一工sin口)，作辅助函数妒(工)=，(工)cos口一工siIl口，注意到taIl臼=』!掣，贝。缈(口)=，(口)c。s口一口siIl口=口一Ⅱ，(易)cos日一6siIl口=妒(易)．由拉格朗日中值定理的条件可知，缈(工)在[口，6】上连续，在(口。6)内可导，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点善(口<善<6)，使9’(孝)=0，，，(善)：taIl曰：攀≥型．图1利用倾斜角口通过复数运算构造辅助函数即，’(孝)cos口一siIl口=0，从而证毕．显然，这种用复数乘法运算构造辅助

5、函数的方法十分有效，通过从几何上对罗尔中值定理和拉格朗日中值定理作一个简单的比较，可以明确这种方法的实际含义．复数乘法运算收稿日期：2008一12—09基金项目：湖北省高等学校省级教学基金资助项目(20D60422)作者简介：宋振云(J958一)，男，湖北孝感人，副教授，从事数学教育研究．E-腿d：h岫r12358@126．啪万方数据第2期宋振云，等：微分中值定理证明中辅助函数的构造1l@+矿(工))Icos(一秒)+isin(一日)l就是将拉格朗日中值定理中的曲线_)，=．厂(x)沿顺时针方向旋转了口角，其结果就是使曲线旋转后

6、曲线弦仙平行于工轴，从而使拉格朗日中值定理中曲线的一般情形变成了罗尔中值定理中曲线的特殊情形，从思维上讲，这就是化繁为简，化一般为特殊的思想方法．注这里的辅助函数伊(z)=，(工)cos口一工siIl口就是文献【1】坐标轴旋转法构造的辅助函数．证明2如图1所示，设曲线弦AB的倾斜角为臼fo<口<7【，口≠昙1，则taIl臼：丛掣二丛生．取曲线Lz／扫一口)，=，(工)上任意一点M(工，厂(工))(工∈【d，6】)，对复数工+i厂(工)作复数乘法运算：0+i，(工))(1一itaIl口)=(工+厂(工)ta皿曰)+i(，(工)一z

7、ta咀曰)．作辅助函数仍(工)=厂(工)一工tan曰．注意到taIl口：上竺型，即，(口)一口t觚臼：，(易)一易taIl口，则口一口仍(口)=仍(6)，由拉格朗日中值定理的条件知，仍(工)在k，纠上满足罗尔中值定理的条件，因此至少存在一点孝(口<善<6)，使硝(f)=o，即，7(孝)一tan口=o，所以，’(孝)：t锄曰：丛掣二型．证毕．D一口应该说明的是，证明1和证明2都是通过对复数石+酽(工)作简单的复数乘法运算就完成了曲线y=，(工)沿顺时针方向的旋转，而且得到了证明拉格朗日中值定理所需要的辅助函数伊(工)=，(工)co

8、s曰一工sill口和仍(工)=厂(工)一石taIl口，其复数乘法运算中的乘数cos口一isiIl目和1一itall秒都是辐角为一口的复数．因此，可以考虑辐角为一目的其它复数作乘法，从而得到所需要的辅助函数．2拉格朗日中值定理证明中辅助函数的多样性应用上述辅助函数