微分中值定理(怎样构造辅助函数)

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1、怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键，下面介绍怎样构造的方法，还有附带几个经典例题，希望对广大高数考生有所帮助。先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a，b）中存在ε使f’(ε)=f(ε)证明过程：f’(ε)=f(ε),所以f’(x)=f(x),让f(x)=y,所以,即，所以对两边简单积分，即，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C，但这只是我的经验方法，所以不加）就是，也就是，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把除下来，就是，所以左边就是构造函数，

2、也就是，而y就是f(x)，所以构造函数就是，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证：在（a，b）中存在ε使f’(ε)+2εf(ε)=0证：一样的，，把x,y移到两边，就是，所以积分出来就是，注意y一定要单独出来，不能带ln，所以就是，移出1就是所以构造函数就是，再用罗尔定理就出来了。三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a，a）中存在ε使f’(ε)ε+2f(ε)=0.证：，移项就是，所以，所以就是，移项就是，所以构造的函数就是，再用罗尔定

3、理就可以了。注：这种方法不是万能的，结合下面例题尝试做下。微分中值定理的证明题1.若在上连续，在上可导，，证明：，使得：。证：构造函数，则在上连续，在内可导，且，由罗尔中值定理知：，使即：，而，故。经典题型二：思路分析：实战分析：设，证明：，使得。证：将上等式变形得：作辅助函数，则在上连续，在内可导，由拉格朗日定理得：，即，即：。经典题型三设在内有二阶导数，且，有证明：在内至少存在一点，使得：。证：显然在上连续，在内可导，又，故由罗尔定理知：，使得又，故，于是在上满足罗尔定理条件，故存在，使得：，而，即证