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《微分中值定理辅助函数类型的构造技巧》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、辅助函数的几种特殊用法在高等数淫屮，证明一些屮值等式的题目也是比较困难的。因为一般我们要花大量的时间去找一个恰当的辅助函数，如果我们能熟悉一些特殊类型题H的辅助函数的构造及相关定理的运用，这样就会为我们解题提供方便，从而节约大量的时间。为此我们需要牢记以下几种常见题型屮辅助函数的特殊用法。(1)若题口中岀现等式“厂(G-妙(G”时，一般可以考虑作辅助函数F(x)=e~kxf(x).例：设函数/在［a,b］上可微,且f(a)=f(b)=0证明：V/re/?,(a,b),使得厂(0=¥(0分析：要证即证厂(G-幼(G=o,也就是证了函数fXx)
2、-kf(x)的零点•注意到［f(x)e-kxY=［fx)-ltf(x)］e-kx,因此,只要检验函数FM=f(x)e~kx是否满足罗尔中值定理条件，但这是明显的.证明：构造辅助函数F(x)=/⑴£%,xe(a,b),则F(力在［a,方］上满足罗尔定理条件，故北€@劝,使得尸($)=0,而F©=f3严-幼(心鬥舛=严［广(G—g］,则£卞［厂(G—幼(门］=0,即厂d《)・(2)若题目结论中岀现等式“人/“=厂(/)04工0)”时，可考虑作副主函数F(x)=/(x),G(x)=xrt・例:设函数于在［a,b］上连续,在(a,b)内可微•证明
3、:込(讪,使得:2^f(b)-f(a))=fO(b2~a2).证明：i)若0纟(a,b)作辅助函数F(x)=f(x),G(x)=x2,F(x),G(x)均满足柯西屮值定理条件所以北丘⑺上)使得/(b)-/(a)二厂©h2-a2~2$'即2C(f(b)-f(a))=fO(b2-a2).ii)若Og(a,b),广(0)工0卫+6工0由i)可类似得证.iii)若Ow(a,b),厂(0)h0,取<=0,即证.⑶若题目结论中岀现“/($)-.厂《疋”时，可以考虑作辅助函数F(x)=/2,G(x)=丄.XX例：设函数/在［讪上连续(a>0),在(以
4、)内可微•证明:茗®)使得士爲二mg证明：因为于⑴-/⑴X2考虑作辅助函数尸(兀)=上凶，G(x)=-,显然F与G在［a9b］,上满足柯曲中值XX定理条件，所以必北W(Q0),使得F(b)-F(a)二F©G(h)-G(a)~b、J=——£——=>匕[妙的-bf(a)]=/(O-旷(011一1a-b~b~~a严证毕.(4)若命题结论中岀现式“/($)+》«)”时，可考虑作辅助函数F(x)=jtf(x)9G(x)=x.例：设函数/在[a,h]±连续，在⑺上)内可导，证明：必冇<丘@小)，使得w)-^)=M)+/wb-a分析：我们熟悉[xf(x)
5、]=f(x)^xfXx),因此作辅助函数F(x)=xf(x),G(x)=x,且知F(x),G(x)在给定区间内均满足柯西中值定理条件，故有F(b)—F(a)G(Z?)—G(d)F'(G即bf(a)_cif(a)G'(G'、百i=M)+/W得证・(5)若题目中出现式“.厂€疋”时，可考虑作辅助函数F(x)=/(%),G⑴=In%.例：设函数/在[a,h](6/>0)±连续，在@上)内可导,则存在«(")使得bf(b)-f(a)=fCK]n-a证明：由我们熟悉的(lnx)^—,考虑作辅助函数F(x)=/(x),G(x)=lnx且xF(x),G
6、(兀)在给定的区间内均满足柯西中值定理条件,于是北G(以),使得/(b)-/⑺二厂(G,In/?-In<7j_?即a证毕.⑹若命题结论中出现等式“与'(G-幼(门”的关系吋，可考虑的辅助函数为F(x)=x-7(x).例：设f(x)在上连续，(OvdVb),在(o,b)内可导，且af(b)=bf(a),证明:北弘劝使得/(O=W).证明：设(p(x)=x~xf(X),显然0在[a,b]_h连续,而矿⑴=小)n)在在⑺用内存在，且(PW)=畑=bf⑹,故0在血引上满足罗尔中值定理条件，于是必北w(d,b)使得所以护(G—/(G=o,而了＞0,
7、所以/(0=^(0-证毕.(7)若题目中出现等式“f2+ff",的关系时，则往往考虑构造辅助函数F(x)=/2(x),因为F(x)经过一次求导为Fx)=2fx)fXx)9再次求导后，即尸(兀)=2[广(兀)+/(兀)厂(兀)]・例：设/(兀)在[a,b]±连续，在@劝内二阶可导,Sj(a)=f(b)=O,证明:北丸劝,使得r2(o+/(o/7o=o.证明:设辅助函数F(x)=f2(x),则F,(x)=2/(x)/,(x),因为尸(兀)在［価上连续，在(°劝内可导,且FS=2f(a)f(a)=F®=2f(b)f(b)=0,所以由罗尔中值定
8、理知：必3^e(a9b)使尸(G=0,而F")=2［广$(门+/($)厂(0卜0,即r2(o+/(o/7o=o.证毕.⑻若题目中出现等式.厂2的关系时，贝懦构造辅助函数F(x)=
