二次函数_因动点产生的面积问题典型例题

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1、....二次函数-因动点产生的面积问题例1、如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．图1思路点

2、拨1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC．2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方．4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．满分解答（1）b＝，点B的横坐标为－2c．（2）由，设E．过点E作EH⊥x轴于H．由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．所以．因此．所以．学习.参考....当C、D、E三点在同一直线上时，．所以．整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或（舍去）．所以

3、抛物线的解析式为．（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．直线BC的解析式为．设，那么，．所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．综上所述，0＜S＜5．②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．考点伸展点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，△PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．当P在BC下方，S＝4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点．学习.参考....例2、如图1，在平面直角坐标系中放置一直角

4、三角板，其顶点为A(0,1)、B(2,0)、O(0,0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1思路点拨1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是△A′B′O面积的3倍．2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．3．过

5、点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．满分解答（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1,0)、(0,2)．因为抛物线与x轴交于A′(－1,0)、B(2,0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，代入B′(0,2)，得a＝1．所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．（2）S△A′B′O＝1．如果S四边形PB′A′B＝4S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3S△A′B′O＝3．如图2，作PD⊥OB，垂足为D．设点P的坐标为(x，－x2＋x＋2)．．．学习.参考....所以．解方程－x2＋2x＋2

6、＝3，得x1＝x2＝1．所以点P的坐标为(1，2)．图2图3图4（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第（2）题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．．．所以．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)．而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．学习.参考..

7、..例3、如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，