2010线性代数期末试题及参考答案

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1、2010线性代数期末试题及参考答案二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，（     ）不是初等矩阵。（A）(B)(C)(D)2．设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。（A）（B）（C）（D）3．设A为n阶方阵，且。则（　　　）(A)(B)(C)(D)4．设为矩阵，则有（）。（A）若，则有无穷多解；（B）若，则有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量；（C）若有阶子式不为零，则有唯一解；（D）若有阶子式不为零，则仅有零解。5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（）（A）A与B相似（B），但

2、A-B

3、=0（C）A=B（D）A与B不一定相

4、似，但

5、A

6、=

7、B

8、三、填空题（每小题4分，共20分）1．。72．为3阶矩阵，且满足3,则=______，。3．向量组，，，是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。4．已知是四元方程组的三个解，其中的秩=3，，，则方程组的通解为。5．设，且秩(A)=2，则a=　　　　　　　。四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。1．已知A+B=AB，且，求矩阵B。2.设，而，求。3.已知方程组有无穷多解，求a以及方程组的通解。4.求一个正交变换将二次型化成标准型75．A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且

9、E+A

10、=

11、2E-A

12、=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对

13、角化？为什么？；（3）求

14、A+3E

15、。五．证明题（每题5分，共10分）。1．若是对称矩阵，是反对称矩阵，是否为对称矩阵？证明你的结论。2．设为矩阵，且的秩为n，判断是否为正定阵？证明你的结论。二、1．选B。初等矩阵一定是可逆的。2．选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与，，等价,其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D中的向量组线性相关。3．选C。由，)。4．选D。A错误，因为，不能保证；B错误，的基础解系含有个解向量；C错误，因为有可能，无解；D正确，因为。5．选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，因此都相似于同一个

16、对角矩阵。7三、1．（按第一列展开）2．；（=）3．相关（因为向量个数大于向量维数）。。因为，。4．。因为，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。5．（四、1．解法一：。将与组成一个矩阵，用初等行变换求。=。故。解法二：。，因此。72．解：，，。3．解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。即或。当时，该方程组的增广矩阵于是，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系，原方程组的一个特解，故时，方程组有无穷多解，其通解为，当时增广矩阵，，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。7由

17、于该方程组有无穷多解，得。因此，即。求通解的方法与解法一相同。4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵，因此得到其特征值为，。再求特征值的特征向量。解方程组，得对应于特征值为的两个线性无关的特征向量，。解方程组得对应于特征值为的一个特征向量。再将，正交化为，。最后将，，单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵，其标准形为7。5．解：（1）由知-1，2为的特征值。，故-2为的特征值，又的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故的特征值为-1，2，-2，-2。（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以有四个

18、线性无关的特征向量，故可相似对角化。（3）的特征值为2，5，1，1。故=10。五、1．为对称矩阵。证明：===，所以为对称矩阵。2．为正定矩阵。证明：由知为对称矩阵。对任意的维向量，由得，=，由定义知是正定矩阵。7