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1、1.2.2牛顿-柯特斯求积公式的误差估计1.牛顿-柯特斯求积公式的截断误差牛顿-柯特斯公式是一个插值型数值求积公式，当用插值多项式P„（x）代替/（X）进行积分时，其截断误差R⑴,即积分真值/和近似值之差可推导如下。th-f(x)dx_pn(x)dx-JaJci(fM-pnM)dx由插1值多项的误差估计可知,用“次Lagrange多项式几（兀）逼近函数时产生误差为:心⑴=/（兀）-几⑴=5+1)(g)0+1)!其中§w[d,Z?]。®+i（x）=（x—%o）（x—%1）…—%"）=口（兀_兀）。对上式两边从1=0°。到作b定积分，便可得出它的截断误差：R⑴=（〃+1
2、）!（2-12）2.数值求积公式的代数精度由式（2-12）可知，截断误差与被积函数/（X）,积分限密切相关，如果被积函数/（劝是一个〃次多项式，由于/（n+1）W=0,则R（f）=0,就会使[f^dx=[pn^dxo所以，被积函数/（兀）为高次多项式时，能使求积公式（2-11）成为精确的等式，便成为衡量数值求积公式精确程度的一个指标。据此，提出数值求积公式代数精度这一概念。如果被积函数/(X)为任意一个次数不高于n次的多项式时，数值求积公式一般形式的截断误差/?(/)=0；而当它是(77+1)次多项式时，尺7)乂0,则说明数值求积公式具有n次代数精度。一个数值求积公
3、式的代数精度越高,表示用它求数值积分时所需逼近被积函数的多项式次数越高。3牛顿-柯特斯求积公式的代数精度等于〃如果被积函数/(力是一个不大于〃次的多项式，则f(n+lx)=O,即人(/)=0；而当/•(%)是任意一个S+1)次多项式时，/网)(劝工0,故人(/)工0。所以，按照代数精度的定义可知，一般情况下，牛顿-柯特斯求积公式的代数精度等于〃；但当〃为偶数时，其代数精度为〃+1。下面对此加以证明。定理2当为〃偶数时，牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为n+lo证明当/(兀)为〃次多项式时，/(n+1)(^)=0(gw[Q,b])牛顿一柯特斯求积公式的代数精度至少等于
4、〃。若设/(兀)是一个〃+1次多项式，这时/(n+1)(^)为一常数，而：R(门=J(/W-Pn(x))dx=:*皓)J(x—%)(x—坷)…(％—xn)dx因此，只要证明在〃为偶数时，f(x-xo)(x-x1)---(x-x„Xx=O,/?(/)=0上述定理2就得证。为此，设兀•+]-兀=/i,(i=0,l,2,・・・,〃)，令t(j—l)(f_2)••・(f—n)dt由x=a+th讥w[O.n].dx=hdt于是:f(x-x())(兀_兀])•••(%_%“)dx=hn+{于“为偶数，不妨设n=2k,£为正整数，贝I]tg[0,2k]o于是:Jt(t—l)(f—
5、2)…(/—zi)df=J—1)…(/—k)红_k—1)…(f—2k+1)(/—2k)dt再引进变换u=t-k,则t=u+k,du=dt.ue[-k.k],代入上式右侧，得出：_l)(f_2)•••(/_ri)df=（w+k）（u+£—1）•••（%+l）w（w—1）・••（％—£+l）（w—k）du丄£=U（U2一1）・・・（/一伙—1）2）（%2_上2）血丄a最后的积分中被积函数是奇函数，所以积分结果等于零，定理2得证。2.3几个低次牛顿-柯特斯求积公式从上面的讨论可知，用多项式近似代替被积函数进行数值积分时，虽然最高次数可是8,但是8次多项式的计算是非常繁杂的
6、，一般常用的是下边介绍的低次多项式。2.3.1.矩形求积公式在牛顿-柯特斯求积公式中，如果取n=0,用零次多项式（即常数）代替被积函数，即用矩形面积代替曲边梯形的面积，则有：打⑴必u（#0（兀皿二@一。）4°）于（兀0）=（〃—。）/（兀0）（2-13）根据牛顿-柯特斯求积公式的误差理论式（2-12）,矩形求积公式的误差估计为：他(/)二［o+：j仏+1Mdx=广(§)(b-a)2.3.2梯形求积公式在牛顿-柯特斯求积公式中，如果取〃=1,用一次多项式代替被积函数,即用梯形面积代替曲边梯形的面积，则有：其中，/(兀o)=/(d)J(兀查表可得cf=C]⑴=1/2,代
7、入上式得出方初h—citfMdx^
8、p.Mdx=—[fM+f(b)](2_i4)由于用一次多项式近似代替被积函数/(Q,所以它的精度是1,也就是说，只有当被积函数是一次多项式时，梯形求积公式才是准确的。根据牛顿-柯特斯求积公式的误差理论式(2-12),梯形求积公式的误差估计为R心)=f处(x)dx=f(x-a)(x-b)dx=(2-15)/〃©是被积函数/⑴二阶导数在％=$点的取值，§e[a,b]。2.3.3抛物线求积公式1.抛物线求积公式的推导在牛顿-柯特斯求积公式中，如果取n=2,用二次多项式代替被积函数,即曲边用抛物线代替，则有:£f(x)dx«fp2(x
