【精品】数值分析教教案10.doc

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1、2.4复合求积公式前面导出的误差估计式表明，用牛顿-柯特斯公式计算积分近似值时，步长越小，截断误差越小。但缩小步长等于增加节点，亦即提高插值多项式的次数，龙格现象表明，这样做并不一定能提高精度。理论上已经证明，当时，牛顿-柯特斯公式所求得的近似值不一定收敛于积分的准确值，而且随着”的增大，牛顿-柯特斯公式是不稳定的。因此，实际中不常用高阶牛顿-柯特斯公式，为提高计算精度，可考虑对被积函数用分段低次多项式插值，由此导出复合求积公式。2.4.1复合梯形公式1.复合梯形求积公式的基本原理在实际应用中，若将积分区间划分成若干个小区间，在各个小区间上采用低次的求积公式

2、（梯形公式或抛物形公式），然后再利用积分的区间可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复合求积公式的基本思想。以梯形面积近似曲边梯形面积，即用梯形公式求小区间上积分的近似值。如图2T所示，这样求得的近似值显然比用梯形公式计算精度高。定积分存在定理表明，只要被积函数连续，当小区间的长度趋于零时，小梯形面积之和趋于曲边梯形面积的准确值，即定积分的准确值。hy=/(£111111111•11•11•1111111111111110abx图2T复合梯形求积示意图将积分区间等分，记"乎，Xr=Q+kh伙=0,1,…,“)在每个/j区间[耳,xk+l

3、](k=0丄…/-1)上用梯形公式并求和，得bfMdx=£广fMdx»££[/(")+f(xk+l)]°k=0%“0L整理得杪h㈡jfMdxQ-+/(/?)+2工/■(忑)]二Tna2k=l(2-19)式(2-19)称为复合梯形公式。如果f(x)wC(2)[a.b]?在小区间[耳，兀+11上,梯形公式的截断误差为tXk+，f{x）dx-［f（X,）+/（xk+}）］=-^-f^k）办（忑，无+1）XkZ12因此cbh3g^r(/)=£f(Qdx-T尸-百工f"(§Qa"0因为f，rM在［"］连续,由介值定理，存在生w(a,b),使得1n-l广'©=—工广

4、G)从而有b/31R"A化）§£z（2-20）这就是复合梯形公式的截断误差。下面简单讨论复合梯形公式的数值稳定性。设计算函数值f(兀)时产生误差为6伙=°丄…加，则用式(2-19)计算结果的误差为k=

5、是梯形总面积；h二(b-a)/n;S二0;fork=1:(n-1)x二a+h*k;s二s+fevaICf1,x);ends二h*(fevaI(*f1,a)+fevaI('f',b))/2+h*s;fl1【例2-8］利用程序计算积分/二J-i。解：先用M文件定义一个名为f.m的函数：functiony二f(x);y=1/(1+x^2)；在命令窗口输入：»traprl(f1/(1+x"2)1,-1,1,10)回车得到:ans=1•5675•I1^l+x2dxq1.56752.4.2复合Simpson公式1-复合Simpson求积公式的基本原理如果用分段二次插值函

6、数近似被积函数，即在小区间上用Simpsom公式计算积分近似值，就导出Simpsom复合公式。将积分区间山力］分成n=2m等分，分点为，b—d兀=a+kh（k=0丄•••，兀）h=在每个小区间72［兀2斤-（*=…期）上用Simpsom公式求积分，则有x2k-2f{x）dx兀2比_兀2£-26）+4/（兀2—1）+/（◎）］J[/（X2k-2）+4于（心—1）+/（心）］求和得Jak=J入2—2f(x)dxmhQ(x2k—2)+4/(")+/(□)]k=i5整理后得到小h加Tm£f(x)dxu-[/(«)+/(/?)+2工f)+4工于(心—1)]Cl3k=

7、]“I(2-21)jt(2-21)称为复合Simpson公式。如果/(兀)EC")［。小］，由Simpson插值余项公式可得复化公式的截断误差为初h加一1mRs(f)=［fWdx--［f(a)+f(b)+2工于(g)+4工a3k=£=1=⑷©金％一2，心］k因为/(4)w为连续，故存在使得1nt/⑷©=—£/⑷(二)mk=i代入上式得他(门=亍-黑吋⑷©=-害心⑷©FeM£=]2L00U1oU(2-22)式(2-22)表明，步长力越小，截断误差越小。与复合梯形公式的分析相类似，可以证明，当〃=2mT00时，用复合Simpson公式所求得的近似值收敛于积分值

8、，而且算法具有数值稳定性。2.复合抛物形求积公式的M