【精品】数值分析教教案21

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1、5.2.2Gauss—Seidel(高斯-赛德尔迭代法)1.Gauss—Seidel迭代原理Jacobi迭代公式(5-9)用方程组表示为p+1)=九垮)+弘疗+…+几_]谓+g[=乞1屮+方23垮)+…+祗_1谐+筠”叩+02<:(5-13)丫伙+1)_人丫⑷丄人丫⑺](k)1伙)E~bnX+乞2兀2+乞3兀3+•・・+九_1心_1+gn因此，在Jacobi迭代法的计算过程中，要同时保留两个近似解向量(上)(k+1)乂‘和X如果把迭代公式改成以下形式xi(ft+1)=勺2甥+勺3甥+•••+$"：?+bgxf+g]X?+1)=^21Xl(fc+1)+〃23燈+

2、…+方2”-lH+b2nX(n}+&2<；(5-14)屮)=bnlX^+仏旷)+加严+-+V.^T+g“即每算出新近似解的一个分量兀尸"，再算下一个分量时，用新分量兀丫⑷代替老分量兀丫)进行计算。这样，在整个计算过程中，只需要〃个单元存贮近似解分量。选取初始向量X(O),用迭代公式(5-14)产生近似解序列“⑹},这种方法叫Gauss—SeideI迭代法，式(5-14)为Gauss—SeideI迭代法的计算公式。公式(5-14)用矩阵表示为严)=Lx(k+l)+W)+g(5-15)其中b2°L=b320bnib2叽3…bnn-"13…Sn”23…^2no••

3、.；•bn-ln0移项可得(/-L)x('+1)=Uxw+g因为/一故(Z-LF1存在，上式可改写成兀伙+1)=(Z_Z)T%⑷+(z-L)-1如果用矩阵A来表法，_0~a2~a310一a320(5-16)~an~an2~an3•…_ann-于是0_%?_^130_€?230L=DL,U~a~a2n~an-,n0=D1t/将式I-L=DD-DL^DD-L)(5_17)(5-17)代入式(5-16)兀伙+i)=(/>—1)一1&伙)+(Q—i)jg这是Gauss—Seidel迭代公式的矩阵表示，式中矩阵M=(D-L)lU为迭代矩阵。1.Gauss—Sei

4、del算法(1)输入人二冋丄心如耳…“丄兀⑼珂兀化…乂。)),维数〃，误差限最大容许迭代次数N。(2)置k=lo(3)计算：“=（勺-工5晋）/。117=2z-1n兀=（bj一工ciijXj-工知*））/。〃（i=2,3，・・・,〃—1）J=1；=/+!n-lXn=（乞—工知厂"％j='（4）若卜一x⑼卜£,输出兀=（坷,…,兀』,停机；否则转（5）0⑸若k

5、—（^1（1）+2皆+b2）诂（7.2000+阳9.0200⑴+雋°+爲）=

6、（7.2000+9.0200+42）=11.6440如此继续下去，计算结果见表5-2。k讦）理）皆）00.00000.00000.000017.20009.020011.6440210.430811.671912.8205310.931311.957212.9778410.991311.994712.9972510.998911.999312.9996610.999911.999913.0000计算结果表明，用Gauss—Seidel迭代法求解例5-4中的方程组比Jacobi迭代法效果好，

7、迭代5次所得到的结果与例5-4中迭代9次所得的结果相相仿。事实上，对有些问题Gauss-Seidel迭代法确实比Jacobi迭代法收敛的快，但也有Gauss—Seidel迭代比Jacobi迭代收敛得慢，甚至还有Jacobi迭代收敛，Gauss—Seidel迭代发散的情况。3Gauss_SeideI迭代法的MATLAB实现function[x,k,fIag]=Gau_Seid(A,b,deIta,maxi)求解线性方程组的迭代法,其中,A为方程组的系数矩阵;b为方程组的右端项;deIta为精度要求，缺省值为1e-5;maxi为最大迭代次数,缺省值100;x为方程组的解

8、;k为迭代次数;flag为指标变量flag^OK!1表示迭代收敛到指标要求,ifnargin<4max1=100;endifnargin<3deIta=1e~4;endn=length(A);k=0;x二zeros(n,1);y=zeros(n,1):fIag=1OK!1while1y二x;fori=1:nz=b(i);forj=1:nifJ二Iz-z-K(i,j)*x(j);endendifabs(A(i,i))<1e~101k==max1faIg=,FaiI!1;return;endz二z/A(i,i);x(i)二z;endifnorm(y~x,inf)