函数的奇偶性1

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1、§2.4函数的奇偶性临沭二中§2.4函数的奇偶性一、对于函数的奇偶性，应注意：1、奇偶函数的定义：（1）对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；（2）整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；（3）可逆性：是偶函数；奇函数；（4）等价性：二、利用定义判断函数奇偶性的一般步骤:（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系①若f(-x)=-f(

2、x)（或f(-x)+f(x)=0），则为奇函数；②若f(-x)=f(x)(或f(-x)-f(x)=0)，则f(x)为偶函数；③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数;④若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。三、函数奇偶性几种常用的性质1、特值法、赋值法在函数奇偶性的应用：例如若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0；2、f(x)为偶函数，则.考向一用定义法判断函数的奇偶性：【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)(2

3、)(3)题型分类深度剖析知能迁移1判断下列函数的奇偶性:(1)(2)解：(1)∵∴-2≤x≤2且x≠0,∴函数f(x)的定义域关于原点对称.∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.(2)当x<-1时,f(x)=x+2,-x>1,∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).当x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1,∴f(-x)=(-x)+2=-x+2=f(x).当-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1,∴f(-x)=0=f(x).综上可知,对于定义域内的每一个x都有f(-x)=f(x)

4、,∴f(x)为偶函数.考向二解不等式例2已知奇函数f(x)是定义在(-1,1)上的增函数，试求解关于a的不等式f(a-2)+f(a2-4)<0.学生作业展示知能迁移2设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若，求实数m的取值范围.（注意数形结合解题）知能迁移2设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若，求实数m的取值范围。（注意数形结合解题）考向三综合运用例3：设是R上的偶函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．本小题主要考查

5、函数的奇偶性和单调性等基本性质，指数函数和不等式的基本性质和运算，以及综合分析问题的能力.解：依题意，对一切有，即所以对一切成立.由此得到.又因为a＞0，所以a=1.（II）证明一：设0＜x1＜x2，由即f（x）在（0，+∞）上是增函数．证明二：由得当时，有此时所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．知能迁移31.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等

6、式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)f(-x)±f(x)=0=±1(f(x)≠0).3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.方法与技巧思想方法感悟提高谢谢大家