函数的奇偶性1

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1、函数的奇偶性书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少壮不努力，老大徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水！勤奋、守纪、团结、进取！引例1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及f(-x),并画出它的图象．解:f(-2)=(-2)2=4f(2)=4f(-2)=f(2)f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-1)=f(1)f(-x)=(-x)2=x2f(-x)=f(x)思考:(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)从解析式上如何体现上述特征

2、？偶函数的特征:①解析式的基本特征：f(-x)=f(x)②图像特征:关于y轴对称.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction).1.偶函数的概念2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x)解:f(-2)=(-2)3=-8,f(2)=8f(-2)=-f(2)f(-1)=(-1)3=-1,f(1)=1f(-1)=-f(1)f(-x)=(-x)3=-x3f(-x)=-f(x)思考:通过练习,你

3、发现了什么规律?(-x,-y)(x,y)奇函数的特征:①解析式的基本特征：f(-x)=-f(x)②图像特征:关于原点对称.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction).2.奇函数的概念如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.(1)奇、偶函数定义的逆命题也成立,即若f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立.若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立.(2)判断函数是否具有奇偶性.首先要看函数的定义域

4、是否关于原点对称,即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提．注意事项[a,b][-b,-a]xo注意：(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;而函数的单调性是函数的局部性质.(2)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．(3)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.(4)如果一个函数f

5、(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.注：1.奇、偶函数的定义域一定关于原点对称.例1.判断下列函数的奇偶性定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。例2.函数是定义在上的偶函数,则该函数的值域是_____.例3.判断下列函数的奇偶性定义域对称的非零常数函数仅是偶函数,而零函数既是奇函数又是偶函数.2.奇偶函数图象的性质:(2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.奇偶函数图象的性质可用于：①判断函数的奇偶性.②简化函数图象的画法,(1

6、)奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x；(2)f(x)=2x4+3x2；解:∵f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数．∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(x)为偶函数．函数定义域为R．解:函数定义域为R．=f(x)，巩固双基解:函数定义域为R．∴f(x)为奇函数．有既奇又偶的函数来吗？解:函数定义域为[0,+∞)．∵定义域不关于原点

7、对称，∴f(x)为非奇非偶函数．-230xy(6)f(x)=x+1解:函数f(x)的定义域为R．∵f(-x)=f(x)=0，又f(-x)=-f(x)=0，∴f(x)为既奇又偶函数．(5)f(x)=0(xR)根据奇偶性,函数可划分为四类:奇函数;偶函数;既奇又偶函数;非奇非偶函数.解:函数定义域为R．∵f(-x)=-x+1，-f(x)=-x-1,∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠–f(x).∴f(x)为非奇非偶函数.判定函数的奇偶性的步骤：(1)先求函数的定义域；①若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函

8、数.②若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步;(2)计算f(－x)化向f(x)的解析式；①若等于f(x),则函数是偶函数,②若等于－f(x),则函数是奇函数,③若不等于,则函数是非奇非偶函数(3)结论.有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1.复习回顾1.两个定义