1.3.3 函数的奇偶性(1)

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1、1.3.3函数的奇偶性(1)【学习目标】1．理解函数的奇偶性及其几何意义．2．学会判断函数的奇偶性．3．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．偶函数任意f(－x)＝f(x)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的______一个x，都有____________，那么函数f(x)就叫做偶函数．0练习1：若函数f(x)＝ax2＋bx是偶函数，则b＝______.解析：∵函数f(x)＝ax2＋bx是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴b＝0.2．奇函数任意f(－x)＝－f(x)一般地，如果对于函数f(x

2、)的定义域内的________一个x，都有____________，那么函数f(x)就叫做奇函数．练习2：若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________.－20解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.3．奇(偶)函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于________对称，偶函数的图象关于________对称．原点y轴(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性______，偶函数在其对称区间上的

3、单调性________．相同相反【问题探究】边的图象．图1-3-3答案：图略．提示：该函数是偶函数，函数图象关于y轴对称．题型1判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝

4、x

5、(x2＋1)；解：(1)此函数的定义域为R，∵f(－x)＝

6、－x

7、·[(－x)2＋1]＝

8、x

9、(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为{x

10、x>0}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)函数的定义域为R，关于原点对称．∵f(－

11、x)＝

12、－x＋1

13、－

14、－x－1

15、＝

16、x－1

17、－

18、x＋1

19、＝－(

20、x＋1

21、－

22、x－1

23、)＝－f(x)，∴f(x)＝

24、x＋1

25、－

26、x－1

27、是奇函数．(4)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(5)此函数的定义域为{1，－1}，且由f(x)＝0，可知：其图象既关于原点对称，又关于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．(6)显然定义域关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(

28、x2＋x)．∴此函数为奇函数．(7)去掉绝对值符号，根据定义判断，用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域(关于原点对称)→验证f(－x)＝±f(x)→下结论，还可以利用图象法【变式与拓展】DA．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数题型2利用函数的奇偶性求函数值【例2】(2013年湖南)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝()A．4B．3C．2D．1解析：由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，得－f(1)＋g(1

29、)＝2①，f(1)＋g(1)＝4②，由①②消掉f(1)，得g(1)＝3.故选B.答案：B【变式与拓展】2．(2013年山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，DA．2B．1C．0D．－2解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.题型3利用函数的奇偶性求函数解析式【例3】f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时，有()A．f(x)≤2C．f(x)≤－2B．f(x)≥2D．f(x)∈R思维突破：利用偶函数图象的对称性分析．f(x)的大致图象如图1-3-4，易知当x≤0时，

30、有f(x)≥2.图1-3-4答案：B利用偶函数的对称性，可根据函数图象在y轴一侧的情况得到y轴另一侧的情况．【变式与拓展】3．(2011年广东广州综合测试)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x3－x2，则当x>0时，f(x)的解析式为______________．f(x)＝－x3－x24．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()D易错分析：对定义域内任意的x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，其成立的前提条件

31、是：函数的定义域关于原点对称，这是函数具备奇偶性的必要条件．－1

32、－1