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1、二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax+bx+c(a≠0)。2、顶点式：y=a(x－h)+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h3、交点式：y=a(x－x)(x－x)(a≠0)其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。3
2、、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点和．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax+bx+c(a≠0)。解：设这个二次函数的解析式为y=ax+bx+c(a≠0)依题意得：解这个方程组得：∴这个二次函数的解析式为y=2x+3x－4。例2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。分析：此题给出抛物线的顶点坐标为，最好抛开题目给出的，重新设顶点式y=a(x－h)+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶
3、点。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)－1(a≠0)又抛物线与轴交于点。∴a(0－4)－1=3∴a=∴这个二次函数的解析式为y=(x－4)－1，即y=x－2x+3。例3、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C。求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x)(x－x)(a≠0)， 其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－2)又连结AC、BC，利用射
4、影定理或相交弦定理的推论易得：OC=AC·BC=8×2∴OC=4即C(0,4)。∴a(0+8)(0－2)=4∴a=∴这个二次函数的解析式为y=(x+8)(x－2)，即y=x－x+4。变式练习，创新发现1、在图的方格纸上有A、B、C三点（每个小方格的边长为1个单位长度）．（l）在给出的直角坐标系中分别写出点A、B、C的坐标；（2）根据你得出的A、B、C三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数的解析式．2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。3、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物
5、线的解析式。参考答案：1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)。（2）y=x－4x+9。2、y=(x－2)+1，即y=x－4x+5。3、y=－(x+2)(x－1)，即y=－x－x+2。十种二次函数解析式求解〈一〉三点式。1，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=a(x-1)２+4，经过点A（2，3），求抛物线的解析式。〈二〉顶点式。1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=4(x+a)2-2a
6、的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。〈三〉交点式。1，已知抛物线与x轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知抛物线线与x轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。〈四〉定点式。1，在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线经过x轴上一定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。2，抛物线y=x2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析
7、式。〈五〉平移式。1，把抛物线y=-2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a(x-h)2+k,求此抛物线解析式。2，抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式。〈六〉距离式。1，抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。〈七〉对称轴式。1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到
8、y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。2、已知抛物线y=-x2+ax+4,交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交y轴于点C,且OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。〈八〉对称式。1，平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16
