2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第34讲 复数的概念与运算 含答案

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1、第34讲　复数的概念与运算　　　　　　　　　　　1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法及其几何意义．3．了解两个具体复数相加、相减的几何意义，会进行复数代数形式的四则运算．知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如　a＋bi　的数叫做复数，其中　a　为实部，　b　为虚部，i是　虚数　单位，且满足i2＝　－1　，全体复数组成的集合C叫做　复数集　.(2)复数的分类：满足条件(a，b∈R)分类a＋bi为实数⇔__b＝0_____a＋bi为虚数⇔_b≠0______a＋bi为纯虚数⇔____a＝0，且b≠0

2、______(3)复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d　(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋bi＝0⇔a＝b＝0　(a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做　实　轴，y轴叫做　虚　轴．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点　Z(a，b)　及平面向量＝　(a，b)　是一一对应关系．(3)复数的模：对应复数z的向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作

3、z

4、或

5、a＋bi

6、.

7、z

8、＝

9、a＋bi

10、＝　　.3．共轭复数(1)定义：若两个复数实部相等，虚部互为相反数，

11、则这两个复数互为　共轭复数　，用　　表示．(2)代数形式：a＋bi与a－bi互为共轭复数(a，b∈R)，即z＝a＋bi⇔＝　a－bi　.(3)几何意义：非零复数z1，z2互为共轭复数⇔它们的对应点Z1，Z2(或向量，)关于　实轴　对称．4．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．运　算运算法则加减法z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝　(a±c)＋(b±d)i　乘　法z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　除　法＝＝　＋i　　　(2)复数加、减法的几何意义①复数

12、加法的几何意义若复数z1，z2对应向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的　对角线　所对应的复数．②复数减法的几何意义复数z1－z2是以连接，的　终点　所对应的向量，并指向　被减数z1所对应的点Z1　所对应的复数．③复平面内的两点间的距离公式d＝　

13、z1－z2

14、　.其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为点Z1与Z2的距离．热身练习1．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限　实部为－2，虚部为1的复数在复平面上对应点的坐标为(－2,1)，位于

15、第二象限．2．(2018·长春二模)已知复数z＝m2－3m＋mi(m∈R)为纯虚数，则m＝(B)A．0B．3C．0或3D．4　由题意得所以m＝3.3．(2016·全国卷Ⅱ)设复数z满足z＋i＝3－i，则＝(C)A．－1＋2iB．1－2iC．3＋2iD．3－2i　由z＋i＝3－i得z＝3－2i，所以＝3＋2i.4．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(C)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限　因为z＝i(－2＋i)＝－1－2i，所以复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．

16、5．已知z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则对应的复数为(B)A．－8＋6iB．8－6iC．8＋6iD．－2－2i　＝－对应的复数为z1－z2＝(3－4i)－(－5＋2i)＝8－6i.　　　　　　　　　　　复数的概念下面是关于复数z＝的四个命题：p1：

17、z

18、＝2;　　p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i;　　p4：z的虚部为－1.其中的真命题为A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4z＝＝＝－1－i，因为

19、z

20、＝＝，所以p1是假命题；因为z2＝(－1－i)2＝2i，所以p2是真命题

21、；因为＝－1＋i，所以p3是假命题；因为z的虚部为－1，所以p4是真命题．所以其中的真命题共有2个：p2，p4.C(1)本题全面考查了复数的概念，主要考查了复数的实部、虚部，复数的模、共轭复数等概念，考查了复数乘、除等基本运算．(2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算把复数化为a＋bi的形式，然后从定义出发，把复数问题转化为实数问题来处理．1．(1)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(A)A．－3B．－2C．2D．3(2)是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，

22、则z等于(D)A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i(1)(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.(2)设z＝a＋b