【教学论文】探求以空间图形为背景的轨迹问题【教师职称评定】

《【教学论文】探求以空间图形为背景的轨迹问题【教师职称评定】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、探求以空间图形为背景的轨迹问题的常用方江西省灰埠中学朱英近几年的高考数学试题，设置了一些数学学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视。在知识网络交汇处设计试题是高考考试命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”(如2004年重庆高考理科数学试卷第12题)。由于这类题目涵盖的知识点多，数学思想和方法考查充分，学生求解起来颇感困难，考试时经常弃而不答，令人惋惜。探求空间轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡。本文通过几道典型例题的分析，寻求空间轨

2、迹问题的探求方法。一、联想圆的定义AOP例1已知平面∥平面，平面、间的距离为8，点P在平面内，则在平面内到点P的距离为10的点的轨迹是[A]A.一个圆B.一条直线C.一个点D.不存在解：过点P作平面的垂线，设垂足为O，则PO=8，又设平面内一点A到点P的距离为10，连PA、OA，BCDAC1B1A1D1P2P1PP3P6P4P5则在PAO中，由勾股定理可得OA=6。可知A点的轨迹为圆，故选A。练习1已知正方体的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则该曲线的长度为[B]A.B.C.D.提示：当点P在上底面时，连AP、A1P，第6页在直角

3、APA1中，求得PA1=，即弧P1P2的长。同理左侧面的弧P5P6、后侧面的弧P3P4的长也为；当点P在前侧面时，弧P1P6的半径为，因为直角A1P1A中，直角边A1P1的长为斜边P1A的一半，所以弧P1P6的圆心角为，从而弧P1P6的长为。同理右侧面的弧P2P3的长与下底面的弧P4P3的长的长也为。故曲线的总长度为。因此选B。二、联想到抛物线的定义例2已知正方体的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距离的平方与点P到点M的距离的平方之差为1，则P点的轨迹为[A]A.抛物线弧B.双曲线弧CDABD1C1B1A1EFPM

4、C.线段D.以上都不对解：过P作PF垂直AD于F，则PF垂直平面ADD1A1，过点F作FE垂直A1D1于E，连PE，则PE为点P到直线A1D1的距离，由已知，即，得，PF=PM，故P点的轨迹是以M为焦点，以AD为准线的抛物线，故选A。练习2在正方体的侧面ABB1A1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为[C]A.直线B.双曲线C1D1A1B1DCBAPC.抛物线D.圆提示：因为B1C1垂直于平面ABB1A1，第6页所以PB1为点P到直线B1C1的距离，于是问题转化为在平面ABB1A1内，点P到定点B1的距离与点P到定直线AB的

5、距离相等。故根据抛物线的定义可知选答案C。三、联想到球面的定义例3已知棱长为3的正方体中，长为2的线段的一个端点在上运动，另一个端点在底面上运动。则的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为[B]DCPABD1C1B1A1A.B.C.D.解：由题意可知，是直角三角形，点为斜边的中点，。故点的轨迹是以为圆心，1为半径的球面位于正方体内的部分，该部分球面与正方体围成的几何体是球的八分之一，故选B。四、利用向量工具例4一定长线段AB的两个端点A、B沿互相垂直的两条异面直线、运动，求它的中点的轨迹。解：设MN为、的公垂线段，连结AM、BN，设MN、AB的中点分别

6、为O、P，则，所以，即P点必在MN的垂直平分面上。因为异面直线、互相垂直，所以第6页。所以P点在以O为圆心，为半径的圆上。故P点的轨迹是MN的垂直平分面内的一个圆。另解：设MN为、的公垂线段，则MN与、两两垂直。如图，以N点为原点，直线为轴，直线NM为轴，以过点N所作直线的平行线为轴，建立空间直角坐标系。设，，，则，P点坐标为，其中横坐标和纵坐标为变量，中有竖坐标为常量。即P点必在MN的垂直平分面上。取MN的中点O，则，所以P点在以O为圆心，为半径的圆上。故P点的轨迹是MN的垂直平分面内的一个圆。评注：求空间动点的轨迹，按立体几何的传统方法几乎无从着手，空间向

7、量巧妙地解决了这一问题。五、利用线与面、面与面的关系例5(见例4)解：设MN为异面直线、的公垂线段，连BN，分别取MN、BM、AB的中点O、Q、P，连OP、PQ、OQ，则由已知异面直线、互相垂直不难证得OPQ为直角三角形。也不难证明OQ、PQ都与、平行，从而平面OPQ与平面第6页平行。可知点P在公垂线段MN的垂直平分面内。因为为定值。故P点的轨迹是MN的垂直平分面内的一个圆。六、利用特殊点定位例6如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E为BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，且总保持PEAC。求动点P的轨迹。解：当点P在CD边上时，SCPGFODBAE由

8、PEAC及BDAC可知，此时，P为CD