活跃在空间图形中的轨迹问题

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1、活跃在空间图形中的轨迹问题在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势。而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”，所以学生在解题中，往往是望题兴叹，百思而不得其解。本文试从几个例题来剖析这些问题的基本解法。1判断轨迹的类型问题这类问题常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等。在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题。例1在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内

2、有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（D）。A.线段B.一段椭圆弧C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义。因为B1C1面AB1，所以PB1就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D。引申1在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（B）。A.线段B.一段椭圆弧C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分引申2在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线A

3、B的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（C）。A.线段B.一段椭圆弧C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分例2（2006届天津市十二区县市重点中学第一次高考模拟联合测试）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（A）。A.圆或圆的一部分B.抛物线或其一部分C.双曲线或其一部分D.椭圆或其一部分简析由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分。例3（2005年

4、浙江省模拟）已知正方体的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（A）。A.抛物线B.双曲线C.直线D.圆简析在正方体中，过P作PFAD，过F作FEA1D1，垂足分别为F、E，连结PE。则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线。点评正方体是空间图形中既简单、熟悉、又重要的几何体，具有丰富的内涵，在正方体中设计的轨迹问题，更是别具一格。例4在正方体中

5、，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有APBD1，则动点P的轨迹为__________。简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面。易证BD1面ACB1，所以满足BD1AP的所有点P都在一个平面ACB1上。而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C。本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹。引申在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，总有PEAC，则动点P

6、的轨迹为_______________。答案线段MN（M、N分别为SC、CD的中点）练习（2004年天津高考题）若A、B为平面的两个定点，点P在外，PB，动点C（不同于A、B）在内，且PCAC，则动点C在平面内的轨迹是________。（除去两点的圆）例5（2004年重庆市高考题）若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是：（D）简析动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在的内角平分线上。现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于

7、是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在的内角平分线与AB之间的区域内。只能选D。引申（2005年温州一模）已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（B）。A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等。2求轨迹中的长度、面积与体积问题例6已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A距离为