浅谈以空间图形为背景的轨迹问题(论文)

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1、动点P的轨迹AiAABC组成的图形是（D）浅谈以空间图形为背景的轨迹问题湖北省团风中学程林/何青松邮编438800/收件人何青松/电话13476586958近儿年的高考数学试题，设置了一些数学学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视。在知识网络交汇处设计试题是高考考试命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下出现的。山于这类题目涵盖的知识点多，数学思想和方法考查充分，学生求解起来颇感困难，考试时经常弃而不答，令人惋惜。探求空间轨迹问题，耍善于把立体儿何问题转化到平而上，再运用平而儿何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解

2、析几何的过渡。本文将通过对几道典型例题的分析，试图总结空间轨迹问题的常见类型，寻求空间轨迹问题的探求方法。常见类型：一、直线型轨迹问题例1:若三棱锥A-BCD侧曲ABC内一动点P到底血BCD的距离与到棱AB的距离相等，则解答：由题意作出如右图所示的三棱锥A-BCD,过P作P0丄平而BCD,PE丄AB于E,PF丄BC于F,连OF。・・•PO=PE,PF>P0,・・・PF>PE,即点P总在ZABC平分线的上方。击PEPO./“c而==sinZPFOPFPF至此可猜想P点的轨迹是直线，可选D。证明如下：建立如右图所示的直角坐标系，设A（a,b）,bP（兀,刃，

3、则AB的所在直线方程为y=-x,aPE即以F=o,设7F=m(0

4、为10,连PA、0A,则在&APA0中,由勾股定理可得0A二6。可知A点的轨迹为圆,故选A。练习1:已知止方体ABCD-A.B.C.D,的棱t为1,在正方体的表面上与点A距离为彗的点的集合形成•条曲线，则该曲线的长度为［D5屁D.1提示：当点P在上底面时,连AP、AiP,在直/fjAAPAi中，求得PAl,即弧P1P-2的长a/371X—。同理左侧血的弧Pf6、后侧血的弧PP冷勺长也为—X-；当点P在前侧面时，弧P：Pe的半径为迹，323因为直角AAHA中，直角边A『的长为斜边RA的一半，所以弧P：Pe的圆心角为从而弧PR的长为^X-o同理右侧面的弧P2

5、P3的长与下底面的弧PH的长的长636也为空止30故曲线的总长度为3x6fV3门X—32/2^371X—36因此选B。练习2:定点A和B都在平血a内，定点P不属于平血a,PB丄a。C是a内异与A和B的动点口PC丄AC.那么动点C在平曲a内的轨迹是⑻A.-条线段，但要去掉两个点B.—个园，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点练习3：在正方体ABCD-AIB,C1D1中，E是AA】的屮点，点p在其对角血BDB1D1内运动,若EP总与直线AC成等角,则点P的轨迹可能是(A)A.圆或圜的一部分B.抛物线或其一部分C.双曲线或其一部

6、分D.椭圆或其一部分说明：圆型轨迹问题一般是指轨迹为圆或圆的一・部分等相关问题。一-般要利用圆的性质去判定。三、圆锥曲线型轨迹问题例3:知止方休ABCD一的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=-，点P3是平而ABCD内的动点，且点P到直线A{D}则PE为点P到直线AD的距离，由已^PF2-PM2=0,・•・PF二PM,故P长为2的线段MN的一个端点M在DD,±运动，另一个端点/V在底而ABCD上运动。则MN的中点P的轨迹与正方体的而所围成的儿D.CiB.-6的距离的平方与点卩到点M的距离的平方Z差为1,则P点的轨迹为】A]八•抛物线弧B.双曲线弧C.线段D

7、.以上都不对解：过P作PF垂直AD于F,则PF垂直平面ADDA,过点F作FE垂直AD于E,连PE,PE2-PM2=,即PF2+EF2-PM2=i,点的轨迹是以1为焦点，以AD为准线的抛物线，故选A。练习1:在正方体ABCD-A.B.C.D.的侧而ABBA内有一点P到直线AB与到直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为[C]A.直线B.双曲线C.抛物线D.恻提示：因为BQ垂直于平面ABBiAi,所以PBi为点P到直线BQ的距离,于是问题转化为在平面ABBA内，点P到定点B.的距离与点P到定直线AB的距离相等。故根据抛物线的定义町知选答案C。练习2:

8、AB是平面Q的斜线段，A为斜足。若点P在平面Q内运动，使得AABP的面积为定值，