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《小学数学迎春杯第3讲数论学生版讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三讲数论综合整除的概念a,b,c为整数，且bHO,如果a-b=c,即整数a除以整数b,得到的商是整数c且没有余数，那么称作n能被b整除，或者是说b能整除a,记作ba;否则，称为a不能被b整除，或是说b不能整除n.如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a的约数.整除的基本性质如果a,b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除.即：如果catcbf那么c（a±b）如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即：如果be
2、那么ba,ca如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a.即：如果cb,b
3、a,那么c丨a如果b,C都能够整除，且b与C互质,那么b与C
4、的乘积能整除a・即：blscla,且（b,c）=l,则屁la.数的整除特征能被2整除的数的特征：个位数字是0,2,4,6,8；能被3（或9）整除的数的特征：各位的数字Z和能够被3（或9）整除；能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能够被4（或25）整除；能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；能被7（或11、13）整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差能够被7（或1、11、13）整除；能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能够被8（或125）整除；能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字Z和的差能够被11整除.质数与合数一个数除了1和它本
5、身，不再有别的约数，那么这个数叫做质数.比如2,3,7,37,....一个数除了1和它木身，还有别的约数，那么这个数是合数.比如4,8,14,48,....特别的：1既不是质数也不是合数.质因数与分解质因数（算术基本定理）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.把一个合数用质因数相乘的形式表示岀来，叫做分解质因数.比如：把42分解质因数应该是42=2x3x7,其中2,3,7是42的质因数.又如：54=2x3?,其中2和3都是54的质因数.利用分解质因数求约数的个数-般地，如果分解质因数有下列形式：A二肝砌…必•其屮如，如，…卫“都是质因数，而是指数，即对应A包含各个
6、质因数的个数.那么A的所有约数的个数为3+1）仏+1）…（»+1）此如：300=22x3x52,那么300的所有约数共有（2+1）（1+1）（2+1）=18个.那么A的所有约数的和为ab=（a,b）[a,b]约数与倍数约数与倍数的关系很简单，其实就是整除关系的另外一种称谓；当然也有概念的延伸，就是在多个数Z间去研究公约数和公倍数，经常地应用最大公约数与最小公倍数解题.下面我们就先冋顾基本的概念：公约数与最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数•例如：12的约数有1,2,3,4,6,12.18的约数有1,2,3,6,9,18那么它们的公约数
7、有1,2,3,6；其屮最大公约数为6.公倍数与最小公倍数儿个数公有的倍数，叫做这儿个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这儿个数的最小公倍数.例如：15的倍数有：15,30,45,60,75,90,105,120,....10的倍数有:10,20,30,40,50,60,70,80。90,....那么它们的公倍数有30,60,90,…是有无穷多个的；而最小公倍数却只有一个，为30.互质的概念如果两个数的最大公约数是1,那么这两个数互质.显然的，两个不同的质数一定互质.辗转相除法求最大公约数最大公约数与最小公倍数性质分数的计算匸屮=曲；黑ac）a,cc」（a,c）约倍关系ab=(a.b)
8、[a9b]例题约数与倍数例题1.甲数是36,甲乙两数的最小公倍数是288,最大公约数是4,乙数应该是例题2.今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆。每堆中这三种课本的数例题3.—年级有72名学生课间加餐费共交x52.7x元（x辨认不清）每人交了元整除性例题4.一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按从小到大的顺序排成一列，中间的一个是例题5.在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有个。例题6.（1）从1到3998这3998个白然数屮，有多少个数能被4整除？（2）从1到3998这3998个自然数屮，有多少个数的数字和能被4整除
9、?例题7.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。例如号码0734,因0+7=3+4,所以这个号码的购物券是幸运券。试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码Z和能被101整除余数与同余例题8.两个整数相除得商数是12,余数是26,被除数、除数、商数及余数的和等于454,除数是例题9.已知一个两位数除147
