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1、八、向量代数与空间解析几何九、多元函数微分法十、重积分十一、曲线积分与曲面积分十二、无穷级数高等数学(下)复习概要第八章向量代数与空间解析几何空间解析几何向量空间直线：一般式、点向式方程空间曲面空间曲线：一般式、参数式方程向量的运算两向量的位置关系柱面、旋转曲面的方程二次曲面方程空间平面:一般式、点法式方程1、向量的两种表示法(1)向量的有向线段表示模、夹角加法、数乘运算（三角形法则）(2)向量的坐标表示模、方向余弦加法、数乘运算（坐标运算）注意：空间两点构成的向量：方向余弦：2.向量的运算加减:数乘:点积:叉积:3.向量与向量之间
2、的位置关系夹角余弦公式:4、几何公式空间两点间距离公式：平行四边形面积公式：两向量夹角余弦公式:5.空间曲面方程旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.•二次曲面三元二次方程例如，椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面:参数方程:6、空间曲线方程一般方程:(两个曲面的交线)投影柱面与投影曲线：7.平面基本方程一般式：点法式：截距式：平面与平面之间的关系:垂直:平行:夹角公式:8.空间直线方程一般式对称式参数式线与线的关系夹角余弦公式//夹角正弦公式面与线的关系//解:取已
3、知平面的法向量则直线的点法式方程为垂直的直线方程.为所求直线的方向向量.例.求过点(1,－2,4)且与平面取找到法向量化简得所求平面方程为解例例判断两平面的位置关系：解两平面相交，夹角两平面平行例判断二次曲面方程表示什么图形第九章多元函数的微分学多元函数微分学多元函数的极限计算复合函数的求导偏导数计算全微分计算隐函数的求导极值,条件极值,最值空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线应用1.多元函数的极限（1）多元函数极限的计算（2）极限不存在的判定方法：让P(x,y)沿直线y=kx趋向于P0(x0,y0)，若极限值与k有关，则极限不
4、存在方法：凑元法，或利用连续性在点(0,0)的极限.例.讨论函数在点(0,0)的极限.例.讨论函数解:原式例.求例求极限解其中2.偏导数的计算求某点处偏导数的方法先代后求先求后代求高阶偏导数的方法逐次求导法求一阶偏导数的方法把另一个变量看成常量解例设，求二阶偏导数.1）可微和全微分定义3、全微分计算2)关系函数偏导存在函数可微偏导数连续函数连续解所求全微分例复合函数求导的链式法则：“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”情形1:中间变量均为一元函数情形情形2:中间变量均为多元函数的情形.情形3:中间变量既含一元，又含多元的情形.4
5、、复合函数的求导例如，设例.设求解:例5、隐函数求导利用隐函数存在定理和隐函数求导公式2)三元方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=f(x,y)1)二元方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)6.空间曲线的切线与法平面切线方程法平面方程设空间光滑曲线的参数方程切向量设空间光滑曲面的一般方程曲面在点法线方程的法向量切平面方程7.曲面的切平面与法线解切平面方程为法线方程为例时,具有极值其中A<0极大值;A>0极小值.驻点极值点注意：(充分条件)先在定义域内找驻点(x0,y0):8、函数的极值问题再判别驻点(x0,y0)是否为
6、极值点?极大还是极小？9、多元函数的最值问题注意：在现实问题中,唯一的驻点就是最值点.求最值的一般方法：1）将函数在D内的所有驻点处的函数值；2）求D的边界上的函数值；3）比较它们大小，其中最大者即为最大值.10、条件极值问题引入拉格朗日函数则解方程组:拉格朗日乘数法：得到的(x,y)就是函数在条件下的可能极值点例求函数的极值求得唯一驻点再判断为极大值例A<0极大值;1.性质(如：区域可加性，对称性)2.计算方法(化成累次积分)第十章重积分3.几何应用(面积与体积计算)1、二重积分的性质(对称性）DD1xyoDD2xyoDD3xyo
7、1.利用直角坐标计算二重积分:若积分区域为则若积分区域为则2、二重积分的计算方法则2.利用极坐标计算二重积分:若区域为注意：1.选择合适的坐标系2.选择易计算的积分顺序3.确定上下限（先夹域,后划线）方法1.投影法方法2.截面法积分区域特点：平行于z轴的直线穿过区域，与边界面交点不多于两点.1、用直角坐标计算三重积分3.三重积分的计算方法2、用柱坐标计算三重积分3、用球坐标计算三重积分与射线交点不多于两点.积分区域特点：4.交换积分顺序问：(1)交换积分次序；（2）求I的值例设解10年期中题5.二重积分的几何意义1)曲面的面积公式：
8、若曲面方程为z=f(x,y)2)平面区域D面积公式：3)空间立体体积公式：4)曲顶柱体体积公式：若柱体顶部曲面方程为z=f(x,y)例.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则解例例在xoy平面
