中考数学专题复习几何最值问题

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【典例1】如图，在矩形ABCD+，血=4,AD=6,E是M边的屮点，F是线段BC边上的动点，将沿EF所在直线折叠得到△EBF,连结BQ,则的最小值是（）.A.2V10-2B.6D.4【思路探究】根据E为力3中点，BE=B'E可知，点人B、3在以点E为圆心，ME长为半径的圆上，D、E为定点、,歹是动点，当E、BD三点共线时，BQ的长最小，此时=DE—EB‘,问题得解.【解析・：AE=BE,BE=B£,由圆的定义可知，A.B、夕在以点E为圆心，长为直径的圆上，如图所示.8Q的长最小值=DE-EB—匚歹-2=2価-2・故选4【启示】此题属于动点（夕）到一定点（E）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E为圆心，E夕为半径的定圆，当点D到圆上的最小距离为点D到圆心的距离一圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如B'DSDE-B'E,当且仅当点E、BQ三点共线时，等号成立.【典例2】如图，E、F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连结BE交/G于点若正方形的边长是2,则线段长度的最小值是•【思路探究】根据正方形的轴对称性易得Z力加=90。，故点H在以为直径的圆上.取力3屮点O,当D、H、O三点共线时，的值最小，此时问题得解.【解析】由厶ABE3/DCF,得ZABE=ZDCF,根据正方形的轴对称性，可得ZDCF=ZD4G,ZABE=ZDAG,所以ZAHB=90。,故点刃在以MB为直径的圆弧上.取中点O,OD交©O于点、H,此时最小，*：OH=-AB=l,OD=^,：・DH的最小值为OD-OH=y/5-.【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H在以力3为直径的圆上，点D在圆外，的最小值为DO-OH.当然此题也可利用DH