不等式的证明方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练（含答案）

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1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第33讲:不等式的证明方法【知识要点】不等式的证明常用的有六种方法（不等式证明六法：比综分放数反）一、比较法包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差f变形（配方、因式分解、通分等）f与零比f下结论；比商的一般步骤是:作商一变形（配方、因式分解、通分等）f与1比一下结论.如果两个数都是正数，一般用比簡，其它一般用比差.二、综合法证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法.三、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索,最后

2、将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”•一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.四、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法.放缩的常见技巧：①添加或舍去一些项，如：>a，7«（n+l）>n^rv-

3、，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或己证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.如果命题屮含有“至少”或“唯一”或英它否定词吋，i般用反证法.【方法讲评】方法一比较法使用情景一般是两个实数解题方法包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差一变形（配方、因式分解、通分等）一与零比一下结论；比商的一般步骤是：作商f变形（配方、因式分解、通分等）f与1比f下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.b+mh【例1】

4、已知a>b>0,m>09则>-.a+ma【证明】左边-右边=匕巴-乞,其中，a>b>O,m>0a+maaa+m)所以，左边-右边A0,左边A右边所以士a+ma【方法点评】比差的一般步骤是：作差一变形（配方、因式分解、通分等）与零比下结论.【例2】设a,bw疋,求证：aabb>（ab^a-hCla_bh-a【证明】作商：一=aTbT伽）丁a-h当—吋，=1当a>b>0时，->1,ba-b~ra-b>0,(沪bfa-b当b>a>0时，Ov^vl,^<0,(纟)亍>1h2ha+b:.aabb>(肪)〒【点评】比商的一般步骤是：作商一变形(配方、因式分解、通分等)一与1比一下结论.【反馈检

5、测1】已知d、b、c是实数，试比较a2+b2+c2与如加+ca的大小.方法二综合法使用情景一般题设较简单，题目较简单.解题方法证明不等式时，从命题的已知条件岀发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法.【例3】设a,b,c为正实数，求证：A+A+4+abc22jLabc【证明】因为代®C为正实数，由平均不等式可得十+右+君巴3梢-君士A+Z+占abcabc所以Z+4+4+样2+嵌abcabc而—+abc>2.-^^abc=2-^3abcabc所以—+tj+—+a^c>2^3abc【点评】该题主要是利用三元均值不等式和二元均值不等式解答.

6、【反馈检测2】已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+tz2)+c(^2+/?2)>6abc方法三分析法使用情景一般从题设入手比较难.解题方法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.【例4】求证：a,b,cwR+,求证：2(。+“一<3(++6-labc)23【证明】2（学「僦）W3（主土-寻阪）£-J只需证^+b—2^fabWa+b+c—3^abc即证c+==-=3^/abc・・d局鼻咽嬴成立

7、.故原不等式成立^【点评】用分析法证明吋，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”.一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.U【反馈检测3】设^为实数，求证：Ep®方法四放缩法使用情景一般不方便用其它方法，用放缩法比较简单.解题方法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的.【例5】®=Vix2+V2x3+……+J/ixS+l),求证:(HGNJ【证明】n