高等数学不定积分讲义

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1、第3、4次课4学时课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：不定积分的概念与性质教学要求：1.理解不定积分的概念2.理解不定积分的性质；3.熟记基本积分表。重点：不定积分的性质和基本积分表难点：不定积分的概念教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.不定积分的概念（25）2.不定积分的性质（30）3.基本积分表（30）4.习题（90）课后作业参考资料不定积分的概念与性质1、复习13个基本导数公式.2、原函数与不定积分的概念.（1）定义1在区间I上，如果可导函数的导函数为，即对任一xÎI，都有或=，那

2、么函数就称为(或)在区间I上的原函数..（2）原函数存在定理如果函数在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数,使对任一xÎI都有F¢(x)=.注：1、如果函数在区间I上有原函数,那么就有无限多个原函数.都是的原函数.(其中C是任意常数).2、的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果F(x)和都是的原函数,则(为某个常数).简单地说就是,连续函数一定有原函数...定义2在区间I上,函数的带有任意常数项的原函数称为(或)在区间I上的不定积分.记作,其中记号称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量..3、例题讲解.例1因为是的原函数,,

3、所以..因为是的原函数,所以..例2.求函数的不定积分.解：当时，(lnx)¢，().;当时，[ln(x)]¢，().合并上面两式,得到(x¹0)..例3.求解由于，所以是的一个原函数，因此.4、变式练习5、积分曲线:函数的原函数的图形称为的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系:,或.又由于是的原函数,所以或记作.6、基本积分表（略）.例4...例5..7、不定积分的性质.性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即..这是因为,=f(x)+g(x).性质2求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即(是常数,)

4、.例6...例7..8.变式练习(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)第5次课2学时课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第一类换元积分法教学要求：1.掌握第一类换元积分法重点：第一类换元积分法难点：凑微分教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.第一类换元积分法理论（25）2.练习（65）课后作业参考资料第一类换元积分法1、回顾旧知（1）复习13个常见积分公式（2）思考：对吗？2、第一类换元法.设有原函数,,且可微,那么,根据复合函数微分法,有,

5、即==.定理1设具有原函数,可导,则有换元公式.3、讲授例题.例1=例2.例3=.例4求解4、变式练习.１）　　　２）　　　　３）４）　　５）　　６）７）　　　８）　第6次课2学时课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第一类换元积分法教学要求：1.掌握第一类换元积分法重点：第一类换元积分法难点：凑微分教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.练习（90）课后作业参考资料第一类换元积分法1、复习旧知.（1）13个常见的积分公式.（2）第一类换元积分法.2、例题讲解（较难的积分）.例1..例2..例

6、3.=ln

7、cscx-cotx

8、+C.即=ln

9、cscx-cotx

10、+C.例4.=ln

11、secx+tanx

12、+C.即=ln

13、secx+tanx

14、+C.3、变式练习.1）2）　3）　　　4）5)　　6)　　7)8)9)10)4、小结（1）分项积分：利用积化和差;分式分项;；（2）降低幂次：利用倍角公式,如.（3）统一函数:利用三角公式;配元方法.（1）巧妙换元或配元第7次课2学时课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第二类换元积分法教学要求：1.理解第二类换元积分法重点：第二类换元积分法难点：第二类换

15、元积分法教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.第二类换元积分法理论（25）2.练习（65）课后作业参考资料第二类换元积分法1、复习第一类换元积分法.2、第二类换元法.（1）定理1设=是单调的、可导的函数,并且¢¹0.又设f[]¢具有原函数F,则有换元公式.其中=是=的反函数.这是因为.3、例题讲解.例1.求(a>0).解:设，,那么,,于是.因为,,所以.例2求解原式.例3求解为了消去根号，设，则.所以.4、变式练习.１）　　　２）　　　　３）４）　５）　　６）７）　　　８）第8次课2学时课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：

16、不定积分，定积分，微分方程本次课题：分部积分法1教学要求：1.掌握分部积分法重点：分部积分法难点：分部积分法教学手段及教具：讲授法讲授内