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1、高等数学教案第四章不定积分第四章不定积分教学目的：1、理解原函数概念、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。§4.1不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xÎI,都有F¢(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F
2、(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.例如因为(sinx)¢=cosx,所以sinx是cosx的原函数.又如当xÎ(1,+¥)时,因为,所以是的原函数.提问:cosx和还有其它原函数吗？原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一xÎI都有F¢(x)=f(x).简单地说就是:连续函数一定有原函数.两点说明:第一,如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x),那么f(x)就有无限多个原函数,F(x)+C都是f(x)的原函数,其中C是任意常数.第二,f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果F(x)和F(
3、x)都是f(x)的原函数,则F(x)-F(x)=C(C为某个常数).高等数学课程建设组27高等数学教案第四章不定积分定义2在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作.其中记号称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)+C就是f(x)的不定积分,即.因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数.例1.因为sinx是cosx的原函数,所以.因为是的原函数,所以.例2.求函数的不定积分.解：当x>0时,(lnx)
4、¢,(x>0);当x<0时,[ln(-x)]¢,(x<0).合并上面两式,得到(x¹0).例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解设所求的曲线方程为y=f(x),按题设,曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为y¢=f¢(x)=2x,,即f(x)是2x的一个原函数.因为,高等数学课程建设组27高等数学教案第四章不定积分故必有某个常数C使f(x)=x2+C,即曲线方程为y=x2+C.因所求曲线通过点(1,2),故2=1+C,C=1.于是所求曲线方程为y=x2+1.积分曲线:函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.从
5、不定积分的定义,即可知下述关系:,或;又由于F(x)是F¢(x)的原函数,所以,或记作.由此可见,微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算,以记号表示）是互逆的.当记号与d连在一起时,或者抵消,或者抵消后差一个常数.二、基本积分表(1)(k是常数),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),高等数学课程建设组27高等数学教案第四章不定积分(10),(11),(12),(13),(14),(15).例4.例5.例6.三、不定积分的性质性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和,即.这是因为,=f(x)+g(x).性质2求不定积分
6、时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即(k是常数,k¹0).例7..例8.高等数学课程建设组27高等数学教案第四章不定积分例9.例10.例11.例12.例13=tanx-x+C.例14.例15.高等数学课程建设组27高等数学教案第四章不定积分§4.2换元积分法一、第一类换元法设f(u)有原函数F(u),u=j(x),且j(x)可微,那么,根据复合函数微分法,有dF[j(x)]=dF(u)=F¢(u)du=F¢[j(x)]dj(x)=F¢[j(x)]j¢(x)dx,所以F¢[j(x)]j¢(x)dx=F¢[j(x)]dj(x)=F¢(u)du=dF(u)=
7、dF[j(x)],因此.即=[F(u)+C]u=j(x)=F[j(x)]+C.定理1设f(u)具有原函数,u=j(x)可导,则有换元公式.被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待,从而微分等式j¢(x)dx=du可以应用到被积表达式中.在求积分时,如果函数g(x)可以化为g(x)=f[j(x)]j¢(x)的形式,那么.例1.=sin2x+C.例2..例3..例4..高等数学课程建设组27高等数学教案第四章不定积分例5.=-ln
8、cosx
9、+C.即.类似地可得.熟练之后,变量代换就不必再写出了.例6..即.例7..例8.当a>0时,.即.
