高等数学——不定积分课件

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1、第四章不定积分微分法:F(x)(?)互逆运算积分法:(?)f(x)第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质机动目录上页下页返回结束一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m的质点,在变力FAsint的作下沿直线运动,试求质点的运动速度v(t).FA根据牛顿第二定律,加速度a(t)sintmmA因此问题转化为:已知v(t)sint,求v(t)?m机动目录上页下页返回结束定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f满足(x)F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx,则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.问

2、题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?机动目录上页下页返回结束定理.若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在I上存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动目录上页下页返回结束定理.若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的所有原函数都在函数族F(x)C(C为任意常数)内.定义2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I上的不定积分,记作f(x)dx,其中—积分号;f(x)—被积函数;x—积分变量;f(x)dx—被积表达式.若F(x)f(x),则常数C不能丢掉f(x)dxF(x)C(C为任意常数

3、)机动目录上页下页返回结束不定积分的几何意义:f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.f(x)dx的图形f(x)的所有积分曲线组成的平行曲线族.yox0x机动目录上页下页返回结束例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:y2x2yy2xdxxC(1,2)所求曲线过点(1,2),故有221CoxC12因此所求曲线为yx1机动目录上页下页返回结束第二节不定积分的概念与性质从不定积分定义可知:d(1)f(x)dxf(x)或df(x)dxf(x)dxdx(2)F(x)dxF(x)

4、C或dF(x)F(x)C二、基本积分表p170-171机动目录上页下页返回结束dx例2.求.x3x例3.求sinxcosxdx.22机动目录上页下页返回结束三、不定积分的性质1.kf(x)dxkf(x)dx(k0)2.[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dxn推论:若f(x)kifi(x),则i1nf(x)dxkifi(x)dxi1机动目录上页下页返回结束xx例4.求2(e5)dx.xx解:原式=[(2e)52)dxxx(2e)25Cln(2e)ln2xxe52Cln21ln2机动目录上页下

5、页返回结束2例5.求tanxdx.2解:原式=(secx1)dx2secxdxdxtanxxC21xx例6.求2dx.x(1x)2x(1x)解:原式=2dxx(1x)11dxdxarctanxlnxC21xx机动目录上页下页返回结束4x例7.求2dx.1x4(x1)1解:原式=dx21x22(x1)(x1)12dx1x2dx(x1)dx21x13xxarctanxC3机动目录上页下页返回结束内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用

6、恒等变形,积分性质及基本积分公式进行积分.分项积分常用恒等变形方法加项减项利用三角公式,代数公式,机动目录上页下页返回结束思考与练习x1.若e是f(x)的原函数,则122xCxf(lnx)dx2xx提示:f(x)(e)elnx1f(lnx)ex机动目录上页下页返回结束x的原函数,则2.若f(x)是e1f(lnx)C0lnxCdxxx提示:已知xf(x)exf(x)eC01f(lnx)C0xf(lnx)1C02xxx机动目录上页下页返回结束3.若f(x)的导函数为sinx,则f(x)的一个原函数是(B).(A)1

7、sinx;(B)1sinx;(C)1cosx;(D)1cosx.提示:已知f(x)sinx求(?)f(x)即(?)sinx或由题意f(x)cosxC1,其原函数为f(x)dxsinxC1xC2机动目录上页下页返回结束4.求下列积分:dxdx(1);(2).2222x(1x)sinxcosx提示:22111(1x)x(1)2222x21x2x(1x)x(1x)221sinxcosx(2)2222sinxco