2020版高考数学高考必考题突破讲座2三角函数与平面向量的综合问题课时达标文（含解析）新人教A版

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1、高考必考题突破讲座　(二)1．(2017·北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．解析(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，所以由正弦定理得sinC＝＝×＝.(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.由余弦定理得72＝b2＋32－2b×3×，解得b＝8，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×3×＝6.2．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．解析(1)由图象知A

2、＝2，又＝－＝，ω>0，所以T＝2π＝，解得ω＝1，所以f(x)＝2sin(x＋φ)．将点代入得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，又－<φ<，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.(2)x∈，则x＋∈，所以sin∈，即f(x)∈[－，2]．3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．解析因为f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．(1)当f(x)为偶函数时

3、，f(－x)＝f(x)．所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，展开整理得sin2xcosφ＝0，由已知可知上式对任意x∈R都成立，所以cosφ＝0.因为0＜φ＜，所以φ＝.(2)当f(x)的图象过点时，sin＝，即sin＝.又0＜φ＜，所以＜＋φ＜π，所以＋φ＝，φ＝.所以f(x)＝sin.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.4．已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.(

4、1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．解析(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.因为y＝f(x)的图象过点和.所以即解得(2)由(1)知f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin.易知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点

5、为(0,2)．将其代入y＝g(x)，得sin＝1，因为0<φ<π，所以φ＝，因此g(x)＝2sin＝2cos2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z.所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.5．(2016·四川卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.解析(1)证明：根据正弦定理得a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC．代入＋＝中，有＋＝，变形可得sinAsinB＝sin

6、AcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)．在△ABC中，由A＋B＋C＝π得sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以sinAsinB＝sinC.(2)由已知b2＋c2－a2＝bc和余弦定理可得cosA＝＝.所以sinA＝＝.由(1)得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinB＝cosB＋sinB，故tanB＝＝4.6．(2019·三门峡调考)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，

7、

8、＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．(1)若x＝，设点D为线段

9、OA上的动点，求

10、＋

11、的最小值；(2)若x∈，向量m＝，n＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求m·n的最小值及对应的x值．解析(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，当x＝时，可得C，所以＋＝，所以

12、＋

13、2＝2＋(0≤t≤1)，所以当t＝时，

14、＋

15、2取得最小值为，故

16、＋

17、的最小值为.(2)易得C(cosx，sinx)，m＝＝(cosx＋1，sinx)，则m·n＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx＝1－cos2x－sin2x＝1－sin.因为x∈，所以≤2x＋≤.所以当2x＋＝，即x＝时，m·n＝1－

18、sin取得最小值1－，所以m·n的最小值为1－，此时x＝.