2020版高考数学大一轮复习第八章解析几何第47讲抛物线课时达标文（含解析）新人教A版

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1、第47讲抛物线课时达标一、选择题1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)A．－B．－1C．－D．－C　解析因为点A在抛物线的准线上，所以－＝－2，所以该抛物线的焦点为F(2,0)，所以kAF＝＝－.故选C.2．抛物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是(　　)A.B.或C.D.或C　解析抛物线的方程化成标准形式为x2＝y(a≠0)，其焦点在y轴上，所以焦点坐标为.故选C.3．(2019·新乡一中月考)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为(x－3

2、)2＋(y－2)2＝16，则p＝(　　)A．1B．2C．3D．4B　解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得x1＋x2＝6，x1＋x2＋p＝8，所以p＝2.4．(2019·曲阜一中月考)已知F是抛物线x2＝8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则

3、AF

4、＝(　　)A．4B．5C．6D．7D　解析因为F是抛物线x2＝8y的焦点，所以F(0,2)，因为抛物线上的点A到x轴的距离为5，所以

5、AF

6、＝5＋＝7.5．(2019·河北师大附中月考)已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则

7、AB

8、的最大值为(　　)A．1B．2C．3D．

9、4D　解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3.由抛物线的定义可知

10、AF

11、＋

12、BF

13、＝x1＋x2＋1＝4.由图可知

14、AF

15、＋

16、BF

17、≥

18、AB

19、，所以

20、AB

21、≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，

22、AB

23、取得最大值4.6．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　)A.B．2C．2D．3C　解析依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x轴的上方得M(3，2)，由MN⊥l得

24、MN

25、＝

26、

27、MF

28、＝3＋1＝4，又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，点M到直线NF的距离为4×＝2.故选C.二、填空题7．若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为________．解析设点M(xM，yM)，则即x＋2xM－3＝0，解得xM＝1或xM＝－3(舍去)．故点M到该抛物线焦点的距离为xM＋＝1＋＝.答案8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．解析如图所示

29、，线段OA所在的直线方程为y＝x，其中垂线方程为2x＋y－＝0，令y＝0，得x＝，即F，所以p＝，y2＝5x，其准线方程为x＝－.答案x＝－9．已知点Q(－2，0)及抛物线x2＝－4y上一动点P(x，y)，则

30、y

31、＋

32、PQ

33、的最小值为________．解析如图，抛物线焦点F(0，－1)，抛物线的准线方程为y＝1，设点P到准线距离为d，则

34、y

35、＋

36、PQ

37、最小时，d＋

38、PQ

39、也最小，又因d＝

40、PF

41、，即

42、PF

43、＋

44、PQ

45、最小，由图看出，

46、PF

47、＋

48、PQ

49、的最小值为

50、QF

51、＝＝3，所以d＋

52、PQ

53、的最小值为3，所以

54、y

55、＋

56、PQ

57、的最小值为2.答案2三、解

58、答题10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

59、AB

60、＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上—点，若＝＋λ(λ≠0)，求λ的值．解析(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得

61、AB

62、＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)

63、，B(4,4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.因为λ≠0，所以λ＝2.11．双曲线－＝1(a>0)的离心率为，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上．(1)求抛物线C的方程；(2)过M(－1,0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．解析(1)双曲线的离心率e＝＝，又a>0，所以a＝1，双曲线的顶点为(0,1)，所以抛物线的焦

64、点为(0,1)，又p>0，所以＝1，所以抛物线方程为x2＝4y.(2)由题知直线l的斜率必存在．设直线l的方