精锐考典——四边形（3-4）

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1、3梯形知识梳理1．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．在梯形中，平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）．在梯形中，不平行的两边叫做梯形的腰．2．有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．3．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等．等腰梯形性质定理2：等腰梯形两条对角线相等．等腰梯形判定定理1：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形．例题精讲【题型一·梯形】【例1】（崇明2012二模6）下列命题中，

2、错误的是（）．一组对边平行的四边形是梯形；．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；．对角线相等的平行四边形是矩形；．一组邻边相等的平行四边形是菱形．【参考答案】．【例2】（普陀2010二模15）梯形中，∥，如果，那么度．【参考答案】30．【例3】（金山2011二模23）已知：如图，在△中，，是直角边的垂直平分线，，连接．求证：（1）四边形是梯形；（2）．【参考答案】（1）证明：∵是的垂直平分线，∴．∴．∵，∴．∴∥．∵与不平行，∴四边形是梯形．（2）延长交于．∵，，，12www.1smart.org中小学个性化辅导∴△≌

3、△．∴．∵，∴∥．∴四边形是平行四边形．∴，．∴．【例4】（闸北2014二模21）已知：如图7，在梯形中，平分，若以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，联结、、．（1）求证：四边形是菱形；（2）若点是的中点，请判断线段和的位置关系，并证明你的结论．【参考答案】解：（1）∵平分，∴．由题意，．在△与△中，．∴△≌△．∴．∵四边形为梯形．∴∥．∴．∴．∴．∴．∴四边形是菱形．（2）线段和的位置关系是垂直．∵点是的中点，∴．∴．∵∥，∴四边形是平行四边形．∴∥．∵四边形是菱形，∴⊥．∴⊥．【题型二·直角梯形】【例1】（南汇200

4、9二模4）已知直角梯形的一腰长为18，另一腰长是9，则较长的腰与底所成的角为（）．120°和60°；．45°和135°；．30°和150°；．90°．【参考答案】．12www.1smart.org中小学个性化辅导【例2】（徐汇2014二模23）（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）已知：如图，在梯形中，∥，，，点是的中点，是上的点，联结、、．（1）求证：；（2）若点是的中点，联结交于点，求证：四边形是菱形．【参考答案】（1）证明：∵点是的中点，∴．又∵，∴．∵∥，∴四边形为平行四边形．∴∥，∴即．

5、（2）证明：∵点是的中点，是上的点，∴∥且．又∵∥，∴四边形为平行四边形．∵平行且等于，∴四边形是平行四边形．又∵，∴四边形是矩形．∴且∴，∴四边形是菱形【题型三·等腰梯形】【例1】（虹口2013二模6、虹口2011二模6）在下列命题中，属于假命题的是（）．对角线相等的梯形是等腰梯形；．两腰相等的梯形是等腰梯形；．底角相等的梯形是等腰梯形；．等腰三角形被平行于底边的直线截成两部分，所截得的四边形是等腰梯形．【参考答案】．【例2】（黄浦2011二模17）如图，在等腰梯形中，∥，，，，则梯形的面积是__________．【参

6、考答案】6．【例3】（浦东2011二模17）已知在等腰梯形中，∥，，，那么．【参考答案】．【例4】（普陀2013二模21）AB如图：已知，四边形是平行四边形，∥，交的延长线于点，交延长线于点，12www.1smart.org中小学个性化辅导求证：四边形是等腰梯形．【参考答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴∥，∥，．∴∥；又∵∥，∴四边形是平行四边形．∴．∴．∵，∴．∴．∵、交于点，∴线段与线段不平行．∴四边形是等腰梯形．【例5】（静安2012二模23）已知：如图，在梯形中，∥，，点在的延长线上，，．（1）求证：；（2）当

7、平分时，求证：△是等腰直角三角形．【参考答案】证明：（1）联结，∵梯形中，//，∴．∵，，∴△≌△．∵，∴．∵，∴．∴．（2）∵平分，∴．∵梯形中，//，，∴．∴．∴．∴．∵，∴∴．∴△是等腰直角三角形．12www.1smart.org中小学个性化辅导过关演练1．（虹口2012二模6）下列命题中，真命题是（）．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形；．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形；．有一组对角互补的梯形是等腰梯形；．有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形．2．（宝山嘉定2011二模15）如图，已知梯形中，∥，，，

8、，则．3．（普陀2011二模17）等腰梯形中，∥，，，，那么梯形的周长是．4．（卢湾2011二模23）已知：如图，梯形中，∥，是的中点，，联结、相交于点，.（1）求证：；（2）求证：四边形是菱形.5．（静安2009二模23）已知：如图，在梯形中，∥，，平分，点为的中点．求证：．12www.1smart.org中小学个