圆的切线证明及有关计算

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1、圆切线的证明及有关计算（一）一、课标要求了解切线的概念：探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线。会过圆上一点画圆的切线。二、教学目标1．归纳直线与圆相切的性质和判定方法以及切线长定理，并能运用这些知识进行计算和证明；2．在计算与证明中培养学生的分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力。三、教学重点运用切线的性质和判定方法进行计算与证明。四、教学难点灵活运用所学知识解决有关切线问题。五、【基础知识回顾】（一）.切线的定义：（二）.切线性质：圆的切线______于过切点的半径.提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常连接圆心和切点，即可

2、得垂直关系（三）.切线判定：(1)和圆有唯一公共点的直线是圆的切线.（定义）(2)经过半径的外端且______这条半径的直线是圆的切线.（判定定理）(3)如果圆心到一条直线的距离等于______，那么这条直线是圆的切线.提醒：1、在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明（连半径，证垂直）.2、当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切（作垂直，证半径）.（四）.切线长（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的，叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相等，这一点和圆心的连线

3、两条切线的夹角六．【典型例题解析】考点一：与切线性质有关的计算例1、（九上P1221(4)）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，且∠P=70°，则∠C=_______.分析：连接OA、OB，则OA⊥PA，OB⊥PB,易得四边形APBO的内角∠AOB的度数，从而可得∠C。（变式）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，点C在⊙O上，且∠ACB=50°，则∠P=_______.例2、如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为（　　）A．8　　B．6　　C．5　　D．4分

4、析：连接OD、OE，则OD⊥BA，OE⊥AC,根据切线长定理得AD=AE，易得正方形ADOE;若设OD=x，根据勾股定理可得OD2+BD2=BO2从而得到方程，通过解方程既得⊙O的半径。【备考指导】解决与切线有关的求角度或线段问题的方法：当已知切线时，常作辅助线连接切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构造直角三角形，然后利用勾股定理或相关的三角函数知识计算线段长度；而在求角度时，往往与圆周角、圆心角有关，求解过程中有时需要作出合适的辅助线，构造与所求角有关的圆心角或直角三角形进行求解。考点二：与切线判定有关的证明例3.已知：如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC

5、的中点D,且DE⊥AC于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线；(2)若∠C＝30°,CD＝10cm,求⊙O的直径．分析：(1)若所证直线与圆的交点字母标出,则连接这条半径,证明这条半径________所证直线；(2)利用等腰三角形和直角三角形知识可求．【备考指导】证明直线是圆的切线的方法：①可以利用定义判定，与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连圆心，证垂直；③若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径.可简述为：无切点、作垂直、证相等.七、

6、中考链接（一）基础达标训练1．（13.河池）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA=　　．2.(14.湘潭)如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，Ｃ为⊙Ｏ外一点，过Ｃ作⊙Ｏ的切线，切点为Ｂ，连接ＡＣ交⊙Ｏ于Ｄ，∠Ｃ＝３８°，点Ｅ在ＡＢ右侧的半圆上运动（不与Ａ、Ｂ重合），则∠ＡＥＤ的大小是（　　）Ａ．１９°Ｂ．３８°Ｃ．５２°Ｄ．７６°第1题第2题第3题3.（12.玉林）如图，Ｒｔ△ＡＢＣ的内切圆⊙Ｏ与两直角边ＡＢ，ＢＣ分别相切于点Ｄ，Ｅ，过劣弧ＤＥ（不包括端点Ｄ，Ｅ）上任一点Ｐ作⊙Ｏ的切线ＭＮ与ＡＢ、ＢＣ分别交于点Ｍ、Ｎ，若⊙Ｏ的

7、半径为ｒ，则Ｒｔ△ＭＢＮ的周长为（　　）4.（14.玉林）如图，直线ＭＮ与⊙Ｏ相切于点Ｍ，ＭＥ＝ＥＦ且ＥＦ∥ＭＮ，则ｃｏｓＥ＝．5.（12.玉林改编）如图，以△ＡＢＣ的ＢＣ边上一点Ｏ为圆心的圆，经过Ａ、Ｂ两点，且与ＢＣ边交于点Ｅ，Ｄ为ＢＥ的下半圆弧的中点，连接ＡＤ交ＢＣ于Ｆ，若ＡＣ＝ＦＣ．求证：ＡＣ是⊙Ｏ的切线；（二）能力提升1.（14.无锡）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（　　）A．3B．2C．1D．02.（1

8、4.内江）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=