21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

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1、21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、教材分析：本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，不但在中考中体现，延伸到高中的教学中也有广泛的应用。现在又将曾一度删去的内容恢复，可见根系关系的重要，它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路。二、学情分析：1.学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合

2、一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。三、教法特点及预期效果分析：1、 本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。学法指导1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并

3、推理。2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。四、教学目标:1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知

4、欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。教学重点和难点1、重点：一元二次方程根与系数的关系。2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。五、教学过程:（一）探索新知问题1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。问题2.

5、解下列方程并填写下表：（1）x2-5x+6=0（2）2x2+5x+3=0（2）3x2-2x-8=0填写下表一元二次方程x1x2x1+x2x1x2x2-5x+6=02x2+5x+3=03x2-2x-8=0【设计意图】：二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与猜想两根和、两根积与系数之间的关系请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？问题3.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：_________

6、___。问题4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=，x2=。则x1+x2=；x1x2=设是方程的两个根。　　∴ 　　∴　　　　　　　　【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出x1和x2的值，接下来将字母系数表示的x1和x2的值代入相应的代数式  x1+x2和x1x2 得出根系关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那

7、一系列的字母并不是高不可攀。（二）尝试发展试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）2x2-3x+1=0     x1+x2=________     x1x2=________          （2）3x2+5x=0       x1+x2=________     x1x2=________           （3）-4x2+x-2=0      x1+x2=_________    x1x2=_________       （4）5x2+kx-6=0     x

8、1+x2=_________    x1x2=_________          【设计意图】本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根系关系应掌握的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法尝试题1、已知方程6x2+kx-5=0的一个根为，求它的另一个根及