21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

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1、21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的解法复习提问2.求根公式方程x1x2x1+x2x1∙x2x2-3x+2=0X2-2x-3=0X2-5x+4=0问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+x2，与x1•x2系数有什么规律？猜想：当二次项系数为1时，方程x2+px+q=0的两根为x1,,x22132-132-31454方程-2x1+x2，x1∙x2与系数有什么规律?猜想：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，则：x1+x2和x1.x2与系数a，b，c的关系.任何一个一元

2、二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1,X2,那么X1+X2=,X1·X2=-（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0一、直接运用根与系数的关系例1、不解方程，求下列方程两根的和与积.知识源于悟在使用根与系数的关系时，应注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用X1+X2=－时，注意“－”不要漏写.二、求关于两根的对称式或代数式的值例2、设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.关于两根几种常见的求值三、构造新方程例3、求一个一元二次方程，使它的两个根是2和

3、3，且二次项系数为1.变式：且二次项系数为5三、构造新方程例4、已知关于x的方程x2-5x-2=0（1）,且关于y的方程的两根分别是方程（1）的两根的平方.求关于y的方程.的倒数.的相反数.比都大2.例5、小明和小敏解同一个一元二次方程时，小明看错了一次项系数所求出的根为-9和-1；小敏看错了常数项所求出的根是8和2。你知道原来的方程是什么吗？三、构造新方程练习、甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出的根为1，4；乙看错了一次项系数所求出的根是-2，-3。则这个一元二次方程为__________________三、构

4、造新方程x2-5x+6=0四、求方程中的待定系数例6、如果－1是方程的一个根，则另一个根是____ｍ=____。（还有其他解法吗？)-3练习：已知3是方程的一根，求m及另一根例7、方程的两根同为正数，求p、q的取值范围.四、求方程中的待定系数变式:方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围.解:由已知,△=即m>0m-1<0∴0

5、方程中的待定系数注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0小结一元二次方程根与系数的关系？注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0再见已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是解法(一):设两数分别为x,y则:{解得:x=2y=－1{或ｘ＝－1y=2{解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:求得∴两数为2,－１*已知两个数的和与积，求两数*求未知系数的取值范围*例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.(1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根.(2)当k取何值时,方程的一根大于1,

6、另一根小于1?分析:(1)列出△的代数式,证其恒大于零(2)(x1-1)(x2-1)<0解:(1)∵△=(m+7)2-4(m-3)=(m+5)2+36>0∴方程总有两个不相等的实数根(2)由题意得:解得:当时方程的一根大于1,另一根小于1*1.当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0,只有正实数根?*2.已知:x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实根,问x1,x2能否同号?若能同号,请求出相应m的取值范围;若不能同号,请说明理由.***题9在△ABC中a,b,c分别为∠A,∠B,∠

7、C的对边,且c=,若关于x的方程有两个相等的实数根,又方程的两实数根的平方和为6,求△ABC的面积.五　综合拓广探索1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2∴解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。由根与系数的关系得x1+x2=x1x2=