圆经典例题精析

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1、圆经典例题精析考点一、圆的有关概念和性质　　1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有()　　(A)4个　　　(B)3个　　　(C)2个　　　(D)1个　　【考点】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，　　【思路点拨】其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件.若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对.　　【答案】B.　2．下列判断中正确的是()　　(A)平分弦的直线垂直于弦　　(B)平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧　　(C)弦的垂直平分线必平分

2、弦所对的两条弧　　(D)平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦　　【考点】垂径定理　　【解析】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧.A中被平分的弦应不是直径；　　　　　　B理由同A；D中平分弧的直线的直线应过圆心.　　【答案】C.　　3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB=∠A′OB′=60°，则()　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A)　　　　　　　　　(B)　　(C)的度数=的度数　　　(D)的长度=的长度　　【思路点拨】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而∠AOB=∠A′OB′，所以的度数=的度数.　　【答案】C.　4．如图，已知圆心角∠A

3、OB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是()　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.80°　　　B.100°　　　C.120°　　　D.130°　　【考点】同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的对角互补.　　【思路点拨】可连结OC，则由半径相等得到两个等腰三角形，11　　　　　　　　∵∠A+∠B+∠ACB=360°-∠O=260°，且∠A+∠B=∠ACB，∴∠ACB=130°.　　　　　　　　或在优弧AB上任取一点P，连结PA、PB，则∠APB=∠O=50°，　　　　　　　　∴∠ACB=360°-∠APB=130°.　　【答案】D.　　总结升华：圆的有关性质在解决圆中

4、的问题时，应用广泛，运用简便.举一反三：　　【变式1】某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____.　　　　　　　　　　　　　　　　【考点】垂径定理.　　【思路点拨】本题可用几何语言叙述为：如图，AB为⊙O的弦，CD为拱高，AB=24米，半径OA=13米，求拱高CD的长.　　【解析】由题意可知：CD⊥AB，AD=BD，且圆心O在CD的延长线上.连结OA，　　　　　　则OD===5(米).所以CD=13-5=8(米).　　【答案】8米.【变式2】如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD=__________°.　　　　　　　　　　　　　　　　　

5、　　　【考点】同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90°.　　【思路点拨】AB是直径，则∠ADB=90°，∠ACD=∠ABD=15°，可求得∠BAD.　　【答案】75°.　　【变式3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，求CD的长.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【解析】因为AE=1cm，EB=5cm，所以OE=(1+5)-1=2(cm)，半径等于3cm.在Rt△OEF中可求EF的长，再求OF的长，连结OD，利用勾股定理求得FD，可得CD的长.　　【略解】∵AE=1cm，BE=5cm，∴⊙O的半径为3cm.∴OE=3-1=2(cm

6、).在Rt△OEF中，∠OEF=60°，11　　　　　　∴OF=sin60°·OE=·2=(cm).　　　　　　连结OD，在Rt△ODF中，OF⊥CD，∴FC=FD.FD2=OF2+OD2即FD2=32-()2，　　　　　　解得FD=±(负值舍去).∴CD=2FD=2(cm).考点二、与圆有关的位置关系　　5．圆心O与直线AB上一点的距离等于半径，则直线AB与⊙O的位置关系是()　　A.相离　　　B.相切　　　C.相交　　　D.相切或相交　　【考点】直线和圆的位置关系.　　【思路点拨】注意审题，本题说的是圆心和直线上一点的距离等于半径，不是圆心到直线的距离等于半径.故不能选B.如下图有两种情况

7、均符合题意：点O到点A的距离均等于半径.　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】D.　　6．如图，AB、AC是⊙O的切线，将OB延长一倍至D，若∠DAC=60°，则∠D=_____.　　【思路点拨】连结OA.∵AB、AC是⊙O的切线，　　　　　　　　∴AO平分∠BAC，且OB⊥AB.又OB=BD，　　　　　　　　∴OA=DA.∴∠OAB=∠DAB.　　　　　　　　∴3∠DAB=60°.∴∠DA