高二数学人教A必修5学案：31不等关系与不等式含解析

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1、第三章不等式§3.1不等关系与不等式【明目标、知重点】1•能用不等式(组)表示实际问题的不等关系2初步学会作差法比较两实数的大小.3.常握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.填要点•记疑点1.比较实数Q，b大小的文字叙述(1)如果a—h是正数，那么a>b；(2)如果a—h等于雯，那么a=b；⑶如果a-b是负数,那么°彳)，反之也成立.2.比较实数°,b大小的符号表示(2)a—b=0Oa二方；(3)a—b<0^>ab^bb,b>c^>a>c(传递性)；(3)a>/?3。+c>b+c(可加性)；(4)a>b,c>O

2、^>ac>bc；a>b,cac方，c>d=^a-~c>b+d；(6)a>方>0,c>d>03ac>bd；⑺a>b>0,n^^a>bn；⑻％>0,UN,n^2^y[ci>y/~b.探要点•究所然[情境导学]现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.那么，数学中，如何表示不等关系呢？探究点一用不等式（组）表示不等关系思考1限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超

3、过40km/h,用不等式如何表示？答oW4（）.思考2某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶屮脂肪的含暈/应不少于2.5%,蛋白质的含暈°应不少于2.3%,如何用不等式组表示上述关系？G2.5%,答＜“2.3%.思考3设点A与平面a的距离为为平面«上的任意一点，则d与的大小关系如何？答d^AB.例1某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为（8—讦尹X0.2》万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20

4、万元”可以表示为不等式（8—二护X0.2）xM20.反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.用不等式（组）表示实际问题中的不等关系时：（1）要先读懂题，设出未知量；（2）抓关键词，找到不等关系；（3）用不等式表示不等关系.思维要严密、规范.跟踪训练1某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm的钢管数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应有如下的不等关系：⑴截得两种钢管的总长度不超过4000mm

5、；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.＜500x+600）＜4000,3x^y9要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：5x20,、尹20.探究点二实数大小的比较思考1在数轴上不同的点A与点B分別表示两个不同的实数a与方.如果a~b分别是正数、零、负数，那么Q,〃之间具有怎样的大小关系？答a,b之间的大小关系分别为a=b,ab0a—b>O;a=b<^a—b=O;a

6、a,b均为正实数.试利用作差法比较a3+b3与/鸟+口沪的大小.解•//+丽一(cTb+ab2)=(a3—a2b)+(b3—ab1)=cf(a—/?)+b2(b—a)=(a—h)(cT—b1)=(a—b)2(a+b).当a=b时，a—b=0,a2b+ab2；当aHb时，(a—b)2>0,a+b>0,a3+b3>a2b+ab2.综上所述，c73+cTb+ab2.反思与感悟比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.作差法比较实数的大小一般步骤是作差f恒等变形一判断差的符号一下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.跟踪训练

7、2已知x0’x—1<0,(x—1)[(x—*)2+扌]<0,/.x3—1<2x2—2x.探究点三不等式的基本性质思考1初中已经学习过不等式的一些性质，请同学们回忆初屮不等式的基