《函数的奇偶性和周期性》.

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1、第5讲函数的奇偶性和周期性★知识梳理1．函数的奇偶性的定义：①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数.偶函数的图象关于轴对称。③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）1．函数的周期性命定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。

2、★重、难点突破重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用难点：函数的奇偶性的判断函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.注意（1）,则既是奇函数又是偶函数,若,则是偶函数；（2）若是奇函数且在处有定义，则2．奇偶函数图象的对称性（1）若是偶函数，则的图象关于直线对称；（2）若是奇函数，则的图象关于点中心对称；2．函数的周期性主要有几种情况

3、：（1）函数值之和等于零型，即函数（2）函数图象有，两条对称轴型（3）两个函数值之积等于，即函数值互为倒数或负倒数型（4）分式递推型，即函数满足★热点考点题型探析考点1判断函数的奇偶性及其应用题型1：判断有解析式的函数的奇偶性[例1]判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=

4、x+1

5、－

6、x－1

7、；（2）f（x）=（x－1）·；（3）；（4）函数的奇偶性是函数的一个整体性质,定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D,则时)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断

8、函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.题型2：证明抽象函数的奇偶性[例2]定义在区间上的函数f(x)满足：对任意的，都有.求证f(x)为奇函数；[新题导练]1．设函数为奇函数，则___________。2．已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（）A．0；B．；C．1；D．3．定义两种运算：，，则是______________函数4．已知函数（a、b、c∈Z）是奇函数,又，，求a、b、c的值.考点2函数奇偶性、单调性的综合应用[例3]已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。[例4]设函

9、数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)

10、正周期4，且时，。求在上的解析式考点3函数奇偶性、周期性的综合应用[例5]（2010年惠州第三次调研考）已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则________[新题导练]8设是定义在上的正值函数,且满足.若是周期函数,则它的一个周期是（）.；.；.；.9．函数对于任意实数满足条件，若则__________基础巩固训练：1．已知是定义在R上的函数，且满足，则“为偶函数”是（）“2为函数的一个周期”的()A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件2．若偶函数在上是

11、增函数，则下列关系式中成立的是（）A．；B．；C．；D．3．设函数(x∈R)为奇函数，，，则（）A．0；B．1；C．；D．54．函数在其定义域内是()A.是增函数又是偶函数；B.是增函数又是奇函数C.是减函数又是偶函数；D.是减函数又是奇函数5．偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为（）A．；B．C．；D．6．已知是定义域为R的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围是。