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《高二数学人教A必修5学案：23等差数列的前n项和二含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一第二章数列§2.3等差数列的前〃项和（二）【明目标、知重点】i.进一步熟练常握等差数列的通项公式和前”项和公式；了解等差数列的一些性质2掌握等差数列前“项和的最值问题.3.理解色与S的关系，能根据求切填要点•记疑点1.数列中Q”与S”的关系对任意数列｛给｝,S“与G”的关系可以表示为f5i（n=l）,an=<、也三口（心2）.2.由数列前”项和S判断数列的类型由于等差数列前n项和公式S〃=mzi+""；厂少.令/=#,B=a厂鲁,则S„=An2+Bn,所以S”是关于”的常数项为0的卫函数.反过来，对任意数列｛如，如果
2、S”是关于n的常数项为0的二次函数,那么这个数列是笺差数列.3.等差数列前〃项和的最值［q&O,⑴在等差数列｛外｝屮，当血>0,虫0时心有最太值，使S“取到最值的"可由不等式组一⑷十iWO确定；当©vO,d>0时，S〃有最尘值，使S”取到最值的"可由不等式组、确定.S“+i刁（）⑵因为£=#/+（%—少，若dHO,则从二次函数的角度看：当d>0时，有最尘值；当dvO时，S“有最去值；且”取最接近对称轴的口然数时，S”取到最值.探要点•究所然［情境导学］如果已知数列｛给｝的前77项和S”的公式，如何求它的通项公式？如果一
3、个数列的前〃项和的公式是S”=d/+如+c（a,b,C为常数），那么这个数列一定是等差数列吗？这就是本节我们探究的主要问题.探究点一已知数列佃｝的前”项和S”求色思考1已知数列的通项公式冷能求出S”；反过來，己知数列｛给｝的前n项和S",如何求如答对所有数列都有S„=a+血+…+d”-1Sn-=a+砒+…因此，当n22时，有ad-；当n=l时，有gi=Si・所以给与S〃的关系为/=仁厂“当[Sn~Sn-^n^2.4也适合G”时，则通项公式要统一用一个解析式^=A/7)(//EN*)来表示.思考2在数列也”｝中
4、，己知S〃=d/+bn+c(a,b,c为常数)如何求°”？判断这个数列一定是等差数列吗？答当刀=1吋，a=S=a+b+c；当n22时，afl=Sn—Stl-i=(an2+bn+c)—[a(n—l)2+b(n—l)+c]=2an—a+b.a-~b~~c(舁=1),"2an—a+h(n^T).只有当c=0时，a=a+b才满足an=2an—a+bf数列｛a“｝才是等差数列.例1已知数列｛Q”｝的前项和为=求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解根据S„=a+a2an-+a
5、n可知Sn-=a+azan-｛n>),当川>1时，a”=S”一S”_i=/+y?—[(〃一1尸1a当〃=1时，G1=S1=F+㊁X1=乞也满足①式.数列｛a〃｝的通项公式为a”=2n—3由此可见：数列也订是以扌为首项，公差为2的等差数列.反思与感悟已知前〃项和S”求通项Q”，先由77=1时，Q
6、=S]求得Q],再由,7M2时，Q“=S厂S"-求a”，最后验证Q
7、是否符合G”，若符合则统一用一个解析式表示.跟踪训练1己知数列仏｝的前拜项和S"=3〃，求a”.解当n=l时，d
8、=S]=3；n22时，q“=S”一S
9、”-i=3"—3"T=2・3"T.当n—1时得g=2H3..J3S=1)，〔2・3"T(心2).探究点二等差数列前〃项和的最值£加，所以当dHO时，S”相应的函数是二次函数，且思考1将等差数列前"项和Sn=na｝+j^1^1d变形为S〃关于〃的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？答由于S,严g+忖常数项为（）.思考2类比二次函数的最值情况，等差数列的S”何时有最大值？何时有最小值？答由二次函数的性质可以得出：当〃>0时，S〃有最小值；当衣0时，S“有最大值；且/7取最接近对称轴的正整数时，S”取到最值.小结（1）若d]
10、>0,d<0,则数列的前面若干项为正项（或0）,所以将这些项相加即得｛S“｝的最大值.（2）若©VO,d>（）,则数列的前面若干项为负项（或0）,所以将这些项相加即得｛S〃｝的最小值；特别地，若Qi>0,d>0t则$是｛£｝的最小值；若5<0,6/<0,则S]是｛S〃｝的最大值.例2己知等差数列5,4%3扌,…的前〃项和为S”，求使得S”最大的序号"的值.24S解由题意知，等差数列5,4弟3弓，…的公差为一号，所以S“=5n+"(一9=1125~56~-于是，当〃取与号最接近的整数即7或8时，S”取最大值.另解an=a
11、~~(n—l)〃=5+(n—1)X•:（S〃）min=—42・方法二•••冷=2舁一14,:.a{=-n.・・・S产也护13心卜-驴-晋.・・.当n=6或巾=7时，S”最小,且⑸）min=-42.例3若等差数列｛為｝的首项如=13,d=—4,记几=匈+匕2汁・・・+1如，求几.解Vaj=13,d=—4,.*.«,；=17—4/
