历年江苏省高等数学竞赛试题（by王辰）

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1、高等数学竞赛试题（本科一级）一、填空题（每小题4分，共32分，把答案写在题中横线上）1.2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）•.填空（每题4分，共32分）兀一sin(sinx)l.limxto(sin兀)2.设函数/，卩可导，y=/(arctanx+^(tanx))，贝U4.5.1+兀,kT心一x^eb1-x46.圆鳥9的面积为7.设/2x-y,-J可微，彳(3,2)=2,£(3,2)=3,则dzyj&级数£i+（j）SW的和为"=1二.（10分）设/⑴在［0,c］上二阶可导，证明:存在§w（o,c）

2、,使得f；/（xXx=

3、（/（o）+/（c））--ru）三.（10分）已知正方体ABCD-A^QD,的边长为2,E为DQ的中点，F为侧面正方形BCC&的中点，（1）试求过点A，E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点的平而截正方体所得到的截而的而积.四（12分）已知ABCD是等腰梯形，3C//AD,AB+BC+CD=8,求AB,BC,AD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最人。五（12分）求二重积分jj（cos2x+sin2y^dxcly，其中D:x2+y2<六.（12分）应用高斯

4、公式计算+by2+cz1）dS,（a.b.c为常数）其中刀:兀2+b+y2=2z.七.（12分）已知数列｛色｝,绚=1卫2=2卫3=5,…,=3a”—a“_]（n=2,3,…）,18记E=丄，判别级数£暫的敛散性.an2008年江苏省高等数学竞赛题(本科一级)一•填空题(每题5分，共40分)时，limbx・xarctanx=P_22.a=，b=吋f(x)=ln(l-ax)+在兀®0吋关1+bx于兀的无穷小的阶数最高。P3.Q2sin3cos4xdx=4.通过点(1,1,-1)与直线兀=t,y=2,z=2+f的

5、平面方程为5设乙=2x则聲=兀2.>,2，人」彷,”⑺)6.设D为y=x,x=0,y=1围成区域，则

6、^[arctanydxdy=D7.设G为/=2兀(yfJO)上从0(0,0)到人(2,0)的一段弧，贝UA()0+x)dx+(ev-xy)dy=Vs&幕级数分卅的和函数为，收敛域为。1二.(8分)设数列妆”｝为西=>/3,x2=-V3,L，暫+2=」3-J3+三(〃=1,2,L)证明：数列匕,｝收敛，并求其极限三.（8分）设/（劝在旦习上具冇连续的导数，求证四.(8分)1)证明曲［&

7、S:x=(Z?+acos

8、q)cosj,y=asinq,z=(/?+acosq)sinj(0旳2p,0#j2p)(0

9、x,y)-2ez)dxdys求f(x9y)八.（9分）求/（X）=3）的关于兀的幕级数展开式（x-1）（1-3x）2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）一•填空(每题5分，共40分)!•/(兀)=/，Jim-^ln[/(l)/(2)---/(n)]=2.lim「丄(幺-⑴)-l)d/=ktoJo兀〉)cfiarctanx.3.dx=Jo(l+x2)24.已知点A(-4,0,0),B(0,-2,0),C(0,0,2),0为坐标原点，则四面体OABC的内接球而方程为5.设由尢二zey+z确定z二z(x

10、,y),贝Udz(e0)=6.函数f(x,y)=e~x^ajc+b-y2>j中常数d,方满足条件时，/(-1,0)为其极大值.7.设「是y二dsinx（d〉O）上从点（0,0）到（龙,0）的一段曲线，a=时，曲线积分（异+y）力:+（2小+£”）心取最大值.&级数£（_1）呦也王也条件收敛时，常数p的取值范围是«=i卅二（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于-200公里/小吋?三.（10

11、分）曲线「的极坐标方程为p=l+cos0（O"

12、/(x)-r(x)

13、

14、/(x)

15、<1.XG(-00,4-00)五(12分)本科一级考生做：设锥ffiz2=3^2+3/(z>0)被平fflx-V3z+4=0截下的有限部分为工.(1)求曲面为的