江苏高等数学竞赛历年试题(本一).doc

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1、2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级）一、填空（每题3分，共15分）1.设，则.2..3..4.通过直线的平面方程为.5.设由方程确定（为任意可微函数），则二、选择题（每题3分，共15分）1.对于函数，点是()A.连续点；B.第一类间断点；C.第二类间断点；D可去间断点2.设可导，，若欲使在可导，则必有（）A.；B.；C.；D3.（）A.等于1；B.等于0；C.等于；D不存在4.若都存在，则在()A.极限存在，但不一定连续；B.极限存在且连续；C.沿任意方向的方向导数存在；D极限不一定存在，也不一定连续5.设为常数，则级数()A.绝对收

2、敛B.条件收敛；C.发散；D收敛性与取值有关13三（6分）设有连续导数，，求.四（6分）已知函数由参数方程确定，求.五（6分）设在上可微，且，证明存在一点，使得.六（6分）设，，求.七（6分）已知由方程确定，其中都是可微函数，求.八（8分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作的切线与抛物线所围成的平面图形面积最小.九（8分）求级数的和.十（8分）设在上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：.十一（8分）已知两个球的半径分别为，且小球球心在大球球面上，试求小球在大球内的那部分的体积.十二（8分）计算曲面积分，其中为曲面.132002年江苏省第六届高等

3、数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.，则，2.设在上可导，下列结论成立的是A.若，则在上有界B.若，则在上无界C.若，则在上无界3.设由确定，则.4..5.曲线，在点的切线的参数方程为.6.设，有二阶连续导数，有二阶连续偏导数，则7.交换二次积分的次序.8.幂级数的收敛域.二.（8分）设，求证.三.（8分）设在上连续，，求证:在内至少存在两个零点.四.（8分）求直线绕轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与所包围的立体的体积.五.（9分）设为常数，试判断级数的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？六.（9分）设讨论在连续

4、性，可偏导性与可微性.13七.（9分）设在可导，，求八.（9分）设曲线的方程为，一质点在力作用下沿曲线从运动到，力的大小等于到定点的距离，其方向垂直于线段，且与轴正向的夹角为锐角，求力对质点做得功.132004年江苏省第七届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.时，与为等价无穷小，则2.3.4.时5.6..7.设可微，，，则.8.设，为，则.二．（10分）设在上连续，在内二阶可导，，，求证:1)内至少存在一点使得；2）内至少存在一点使得三.（10分）设，在的边界上任取点,设到原点距离为，作垂直于，交的边界于1）试将的距离表示

5、为的函数；2）求饶旋转一周的旋转体的体积.四（10分）已知点,在平面上求一点，使最小.五（10分）求幂级数的收敛域.六（10分）求证：，其中.七（10分）设连续，可导，，为不含原点单连通域，任取，13内积分与路径无关.（1）求；（2）求其中为边界取正向.132006年江苏省第八届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.，2.3.4.已知点,为坐标原点，则四面体的内接球面方程为5.设由确定，则6.函数中常数满足条件时，为其极大值.7.设是上从点到的一段曲线，时，曲线积分取最大值.8.级数条件收敛时，常数的取值范围是二.（10分）

6、某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于公里/小时.三.（10分）曲线的极坐标方程为，求该曲线在所对应的点的切线的直角坐标方程，并求切线与轴围成图形的面积.四（8分）设在上是导数连续的有界函数，，求证：.五（12分）设锥面被平面截下的有限部分为.（1）求曲面的面积；（2）用薄铁片制作的模型，为上的两点，为原点，将沿线段剪开并展成平面图形，以方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出的边界的极坐标方程.六（10分）曲线绕轴旋转一周生成的曲面与所围

7、成的立体区域记为，求13.七（10分）1）设幂级数的收敛域为，求证幂级数的收敛域也为；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明.132008年江苏省第九届高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5分，共40分）1.，时，2.，时在时关于的无穷小的阶数最高。3.4.通过点与直线的平面方程为5.设则=6.设为围成区域，则7.设为上从到的一段弧，则=8.幂级数的和函数为，收敛域为。二．（8分）设数列为证明：数列收敛，并求其极限三．（8分）设在上具有连续的导数，求证四．（8分）1）证明曲面为旋转曲面2）求旋转曲面所围成立体的

8、体积五．（10分）函数具有连续的二阶偏导数，算子定义为1）求；2)利用结论1）以为新的自变量改变方程13的形式六．（8分）