2018年孟老师全面剖析高一数学新课标人教版必修四必学知识教学案：2.5平面向量应用举例

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1、【课题研究】2、5平面向量应用举例【讲师】讲义编写者：数学教师孟老师由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的儿何背景，平面儿何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可以用向量方法解决平面儿何的有关问题.今天我们通过几个具体的实例，说明向量方法在几何平面只能给的运用.因为有了运算，向量的力量无限.如果不能进行运算，向量只是示意方向的路标.一、【学习目标】1了解木章知识网络结构；2进一步熟悉基本概念及运算律；3理解重要定理、公式并能熟练应用；4加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的

2、能力5认识事物之间的相互转化；6培养学生的数学应用意识；7.熟悉向量的性质及运算律；&能根据向量性质特点构造向量；9.熟练平面几何性质在解题中应用；10.熟练向量求解的坐标化思路11.认识事物Z间的内在联系；12.认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识二、【自学内容和要求及自学过程】1本章知识网络结构2本章重点及难点(1)本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用；(2)本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，己知两边和其中一边的对角解斜三角形等；(1

3、)对于木章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用3向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：儿何表示法AB,a；坐标表示法a=xi+yj=(x,y)(3)向量的长度：即向量的大小，记作丨aI(2)特殊的向量：零向量5=0<=>I5I=0单位向量％为单位向量(3)相等的向量：大小相等，方向相同=o『一兀(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作/〃厂由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量4向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积

4、，向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质运算类型儿何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则a+h=(兀1+兀2』+歹2)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)AB+BC=AC向量的减法三角形法则a-b-(不一兀2，刃一儿)a-b=a+(-/?)AB=-BAOB-OA=AB向量的乘1加是一个向量，满足：2A>0时，加与Q同向；久<0时，加与d异向；久二0时，Aa二0Aa=(Ax,Ay)=(砂)a(A+/n)a=加+“a法A(a+b)=加+〃a//ba=Aba^b=b^a向a・b是一个数(加)•b=a^(肋)

5、=A(a•b)里[a=0^b=0时，的二0a・b=(a+b)•c=d•c+b•c数2gH0且方工0时，[M2+)卩2量积a^b=a\bcos(a,b)a2=a^a=y/x2+y2

6、a•Z?

7、<

8、a\b5重要定理、公式：(1)平面向量基本定理召,乙是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数九易，使/二&可+入逐(2)两个向量平行的充要条件—♦—♦a//hoa=Abox}y2-x2=0(3)两个向量垂直的充要条件akb«a・b=0ox{x2+y}y2=0(4)线段的定比分点公式设点P分有向线

9、段丽所成的比为久，即丽=久两，则■11=(线段的定比分点的向量公式)(线段定比分点的坐标公式)当人=1时，得中点公式:OP=-(2)平移公式设点P(x,刃按向量&=(h,k)平移后得到点Pf(xy)，则0Pf=—►X=X+力，0P+万或4,曲线=f(x)按向量a=(h.k)平移后所得的曲y=y+k.线的函数解析式为：y-k=f(x-h)三、【综合练习与思考探索】例1求证：平行舛边形两条对角线平方和等于四条边的平方和AC=AB+AD——22AB+2AD=解：如图：ZZ7ABCD中，AB=DC,AD=BC,「•，•，•，•2■2，•，•：

10、.AC^=AB-}-AD2=AB~+AD~+2ABAD^~bd=Jb-ada■—*°■2■2‘•—*:.BD1=AB-AD2=AB+AD-2ABAD:.

11、AC

12、2+

13、BD

14、2=2

15、AB

16、2+

17、BC

18、2+

19、DC

20、2+

21、AD

22、2思考：如果不用向量的方法，你能证明上述关系吗？平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算,特别是数量积及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量的方法解决部分几何问题•解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后再通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元

23、素之间的关系；最后再把运算结杲“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是我们用向量方法解决平面几何问题的三部曲.〈1＞建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问