厦门大学概率统计

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1、§4等可能概型一、古典概型二、基本组合分析三、计算例子四、几何概型8/5/20211/36有些概率是无法精确推断的(主观概率)比如你对别人说你下午4点去打球的概率是百分之八十。但你无法精确说出为什么是百分之八十而不是百分之八十四或者百分之七十八。其实你想说的是你很可能去，但又没有完全肯定。实际上，到了下午4点，你要么去打球，要么去做其它事情；你不可能有分身术，百分之八十的你去打球，百分之二十的你去做其它事情。概率的公理化定义只给出概率必须满足的三个基本性质，并未对事件A的概率P(A)给定一个具体的数,也未给出概率P(A)的含义。有些概率是可以估计的(频率的稳定值)

2、8/5/20212/36有些概率是可以精确计算的在有些实际问题中，通常可由其物理特征、几何对称性或想像的完全随机性，得出每个基本事件的发生是等可能的。比如掷骰子。只要没有人在骰子上做手脚，你得到6点的概率应该是六分之一，得到其他点的概率也是六分之一。得到6的概率或者机会是已知的，但掷骰子的结果还只可能是六个数目之一。这个已知的概率就反映了规律性，而得到哪个结果则反映了随机性。如果你掷1000次骰子，那么，大约有六分之一的可能会得到6；这也是随机性呈现有规律的一个体现。8/5/20213/36比如：抛掷一枚均匀硬币的试验，抛掷一枚均匀骰子的试验,从一副扑克牌中随机抽

3、取一张。我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。一、古典概型生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：样本空间的元素只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同。8/5/20214/36由古典概型的等可能性，得}.{}{}{21ne=PePePL==又由于基本事件两两互不相容；所以e1……eke2……en古典概型中事件概率的计算设S={e1,e2,…en}8/5/20215/36事件A2为“至少有一次出现正面”，A2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH}8/5/20218/36例2一口袋装有6只

4、球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式：放回抽样第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。不放回抽样第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。分别就上面两种方式求：1）取到的两只都是白球的概率；2）取到的两只球颜色相同的概率；3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。8/5/20219/36二、基本组合分析乘法原理若进行A1过程有n1种方法，进行A2过程有n2种方法，则进行A1过程后再进行A2过程共有n1×n2种方法。n1n2n2n2n2A1A2加法原理若进行A1过程有n1种方法，进行A2过程有n2种方

5、法，假定A1过程与A2过程是并行的，则进行过程A1或过程A2的方法共有n1＋n2种方法。n1n2A1A28/5/202110/36排列：从含有n个元素的总体中取出r个来进行排列。这时既要考虑到取出的元素也要顾及其取出顺序。(不可重复)排列数（无放回选取）：可重复排列数（有放回选取）：（r＜n时称为选排列；r＝n时称为全排列，记为Pn=n!）8/5/202111/36组合：从含有n个元素的总体中取出r个而不考虑其取出顺序。(不可重复)组合数(无放回选取)：可重复组合数（有放回选取）：若r1+r2+…+rk=n，把n个不同元素分成k类，第一类r1个，…，第k类rk个，

6、则不同的分法有：（二项系数）（多项系数）(分类数)8/5/202112/36例2一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式：放回抽样第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。不放回抽样第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。分别就上面两种方式求：1）取到的两只都是白球的概率；2）取到的两只球颜色相同的概率；3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。三、计算例子8/5/202113/36解：设A=“取到的两只球都是白球”，B=“取到的两只球颜色相同”，C=“取到的两只球中至少有一只是白球”。有

7、放回抽取:基本事件是可重复排列。8/5/202114/36无放回抽取:基本事件是不可重复排列。无放回抽取:基本事件是不可重复组合。8/5/202115/36例3将n只球随机的放入N(Nn)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。解：将n只球放入N个盒子中去,在盒子的容量不限的性况不，基本事件等价于从N个元素中有放回取n个的可重复排列，因此共有而每个盒子中至多放一只球等价于不可重复排列,共有8/5/202116/36此例可以作为许多问题的数学模型，比如每人的生日在在一年365天中的任一天是等可能的，那么随机选取n(≤365)个人，他们的生日各

8、不相同的概