第三章刚体和流体的运动

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1、§3-1刚体模型及其运动§3-2力矩转动惯量定轴转动定律§3-3定轴转动中的功能关系§3-4定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律§3-5进动§3-6理想流体模型定常流动伯努利方程§3-7牛顿力学的内在随机性混沌第三章刚体和流体的运动既考虑物体的质量，又考虑形状和大小，但忽略其形变的物体模型。一、刚体刚体（rigidbody）：刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间相对距离保持不变的质点系。§3-1刚体模型及其运动二、平动和转动当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动（translation）。可以用质

2、点动力学的方法来处理刚体的平动问题。平动时，刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动，如质心。1、平动如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，这种运动就叫做转动（rotation），这一直线就叫做转轴。如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动（fixed-axisrotation）。可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的叠加。如：门、窗的转动等。如：车轮的滚动。2、转动3、刚体的定轴转动定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径的圆周运动。在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但在相同时

3、间内转过的角度相同，称为角位移，它可以用来描述整个刚体的转动。作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量，包括角位移、角速度和角加速度。但不同位置的质点具有不同的线量，包括位移、速度和加速度。线量与角量的关系：角位移角速度角加速度角量：对于匀角加速转动，则有：匀加速直线运动：作直线运动的质点：1个自由度作平面运动的质点：2个自由度作空间运动的质点：3个自由度质点：(x,y,z)i=3三、自由度所谓自由度就是决定系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。C(x,y,z)物体有几个自由度，他的运动定律就归结为几个独立的方程。i=3个平动自由度+2个转动自由度=5个自由

4、度刚性细棒：运动刚体：自由刚体有6个自由度：随质心的平动+绕过质心轴的转动确定质心位置3个平动自由度(x,y,z)确定过质心轴位置2个转动自由度(，)确定定轴转动角位置1个转动自由度()1、只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力矩Mz，而平行于转轴的外力分量产生的力矩Mxy则被轴承上支承力的力矩所抵消。对O点的力矩：一、力矩大小：说明§3-2力矩转动惯量定轴转动定律是转轴到力作用线的距离，称为力臂。2、3、在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用正负号表示。刚体所受的关于定轴的合力矩：二、角速度矢量角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。

5、在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。因此，计算中可用正负表示角速度的方向。线速度和角速度之间的矢量关系：三、定轴转动定律应用牛顿第二定律，可得：对刚体中任一质量元受外力和内力采用自然坐标系，上式切向分量式为：对刚体内各个质点的相应式子，相加得：对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则：称为刚体对转轴的转动惯量。刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。刚体定轴转动定律：与平动定律比较：四、转动惯量定义：刚体为质量连续体时：单位(SI)：转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。转动惯量取决于刚体本身的性质，即刚体的形

6、状、大小、质量分布以及转轴的位置。（r为质元dm到转轴的距离）例3-1求均质细棒(m，l)的转动惯量：(1)转轴通过中心C与棒垂直，(2)转轴通过棒的一端O与棒垂直。解：(1)(2)CxOxdxdmdxdm可见，转动惯量因转轴位置而变，故必须指明是关于某轴的转动惯量。平行轴定理（parallelaxistheorem）通过任一转轴A的转动惯量：CxdxdmAh（取C为坐标原点）刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平行转轴的转动惯量JC加上刚体质量m乘以两平行转轴间距离h的平方。例3-2求质量m半径R的(1)均质圆环，(2)均质圆盘对通过直径的转轴的转动

7、惯量。解：(1)圆环：dmodm(2)圆盘：可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。例3-3物体：m1，m2(>m1)，定滑轮：m，r，受摩擦阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的加速度和绳的张力。解：由于考虑滑轮的质量和所受的摩擦阻力矩，问题中包括平动和转动。轮不打滑：联立方程，可解得T1，T2，a，。此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度gr例3-4一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？rRdrde把圆盘分成许多环形

8、质元，每个质元的质量dm=rddre，e是盘的厚