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《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习 第4讲 平面向量应用举例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4讲平面向量应用举例一、选择题1．△ABC的三个内角成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC一定是( )．A．等腰直角三角形B．非等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析 △ABC中BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又A，B，C成等差数列，故B＝.答案 C2.半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则(＋)·的值是( )A．－2B．－1C．2D．无法确定，与C点位置有关解析(＋)·＝2·＝－2.答案 A3.函数y＝tanx－的部分图象如图所示，则(＋)·＝( )．A．
2、4B．6C．1D．2解析 由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.答案 B4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝( )．A.B.C.D.解析 法一 依题意，不妨设＝E，＝2，则有－＝(－)，即＝＋；－＝2(－)，即＝＋.所以·＝·＝(2＋)·(＋2)＝(22＋22＋5·)＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos60°)＝，选A.法二 由∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90°，如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E，F，∴·＝
3、·＝·＋(－1)·(－1)＝＋1＝，选A.答案 A5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为( )．A．3B.C．2D.解析 (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得＝.答案 B6．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且
4、
5、＝
6、
7、，则在方向上的投影为( )．A．1B．2C.D．3解析 如图，由题意可设D为BC的中点，由＋＋＝0，得＋2＝0，即＝2，∴A，O，D共线且
8、
9、＝2
10、
11、，又O为△ABC的外心，∴AO为BC的中垂线，∴
12、
13、＝
14、
15、＝
16、
17、＝2
18、，
19、
20、＝1，∴
21、
22、＝，∴在方向上的投影为.答案 C二、填空题7.△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．解析∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.答案38．已知平面向量a，b满足
23、a
24、＝1，
25、b
26、＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______
27、__．解析 ∵
28、a＋b
29、2－
30、a－b
31、2＝4a·b＝4
32、a
33、
34、b
35、cos＝4＞0，∴
36、a＋b
37、＞
38、a－b
39、，又
40、a－b
41、2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴
42、a－b
43、＝.答案 9．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．解析 若a⊥b，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.9x＋3y＝32x＋3y≥2×＝2×＝6.当且仅当x＝，y＝1时取得最小值．答案 610．已知
44、a
45、＝2
46、b
47、≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋
48、a
49、x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．解
50、析 由题意得：f′(x)＝x2＋
51、a
52、x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝
53、a
54、2－4a·b>0，即4
55、b
56、2－8
57、b
58、2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的夹角范围为.答案 三、解答题11．已知A(2,0)，B(0,2)，C(cosθ，sinθ)，O为坐标原点(1)·＝－，求sin2θ的值．(2)若
59、＋
60、＝，且θ∈(－π，0)，求与的夹角．解(1)＝(cosθ，sinθ)－(2,0)＝(cosθ－2，sinθ)＝(cosθ，sinθ)－(0,2)＝(cosθ，sinθ－2)．·＝cosθ(cosθ－2)＋sinθ(si
61、nθ－2)＝cos2θ－2cosθ＋sin2θ－2sinθ＝1－2(sinθ＋cosθ)＝－.∴sinθ＋cosθ＝，∴1＋2sinθcosθ＝，∴sin2θ＝－1＝－.(2)∵＝(2,0)，＝(cosθ，sinθ)，∴＋＝(2＋cosθ，sinθ)，∴
62、＋
63、＝＝.即4＋4cosθ＋cos2θ＋sin2θ＝7.∴4cosθ＝2，即cosθ＝.∵－π<θ<0，∴θ＝－.又∵＝(0,2)，＝，∴cos〈，〉＝＝＝－.∴〈，〉＝.12．已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈.(1)若
64、
65、＝
66、
67、，求角α的
68、值；(2)若·＝－1，求的值．解 (1)∵＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，∴2＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，2＝c
