2016届《步步高》高考数学大一轮总复习 第4讲 平面向量应用举例

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1、第4讲平面向量应用举例一、选择题1.△ABC的三个内角成等差数列,且(+)·=0,则△ABC一定是(  ).A.等腰直角三角形B.非等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形解析 △ABC中BC边的中线又是BC边的高,故△ABC为等腰三角形,又A,B,C成等差数列,故B=.答案 C2.半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC的中点,则(+)·的值是(  )A.-2B.-1C.2D.无法确定,与C点位置有关解析(+)·=2·=-2.答案 A3.函数y=tanx-的部分图象如图所示,则(+)·=(  ).A.

2、4B.6C.1D.2解析 由条件可得B(3,1),A(2,0),∴(+)·=(+)·(-)=2-2=10-4=6.答案 B4.在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,AC=1,E,F为边BC的三等分点,则·=(  ).A.B.C.D.解析 法一 依题意,不妨设=E,=2,则有-=(-),即=+;-=2(-),即=+.所以·=·=(2+)·(+2)=(22+22+5·)=(2×22+2×12+5×2×1×cos60°)=,选A.法二 由∠BAC=60°,AB=2,AC=1可得∠ACB=90°,如图建立直角坐标系,则A(0,1),E,F,∴·=

3、·=·+(-1)·(-1)=+1=,选A.答案 A5.如图所示,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且=x,=y,则的值为(  ).A.3B.C.2D.解析 (特例法)利用等边三角形,过重心作平行于底边BC的直线,易得=.答案 B6.△ABC的外接圆圆心为O,半径为2,++=0,且

4、

5、=

6、

7、,则在方向上的投影为(  ).A.1B.2C.D.3解析 如图,由题意可设D为BC的中点,由++=0,得+2=0,即=2,∴A,O,D共线且

8、

9、=2

10、

11、,又O为△ABC的外心,∴AO为BC的中垂线,∴

12、

13、=

14、

15、=

16、

17、=2

18、,

19、

20、=1,∴

21、

22、=,∴在方向上的投影为.答案 C二、填空题7.△ABO三顶点坐标为A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点,满足·≤0,·≥0,则·的最小值为________.解析∵·=(x-1,y)·(1,0)=x-1≤0,∴x≤1,∴-x≥-1,∵·=(x,y-2)·(0,2)=2(y-2)≥0,∴y≥2.∴·=(x,y)·(-1,2)=2y-x≥3.答案38.已知平面向量a,b满足

23、a

24、=1,

25、b

26、=2,a与b的夹角为.以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______

27、__.解析 ∵

28、a+b

29、2-

30、a-b

31、2=4a·b=4

32、a

33、

34、b

35、cos=4>0,∴

36、a+b

37、>

38、a-b

39、,又

40、a-b

41、2=a2+b2-2a·b=3,∴

42、a-b

43、=.答案 9.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为________.解析 若a⊥b,则4(x-1)+2y=0,即2x+y=2.9x+3y=32x+3y≥2×=2×=6.当且仅当x=,y=1时取得最小值.答案 610.已知

44、a

45、=2

46、b

47、≠0,且关于x的函数f(x)=x3+

48、a

49、x2+a·bx在R上有极值,则a与b的夹角范围为________.解

50、析 由题意得:f′(x)=x2+

51、a

52、x+a·b必有可变号零点,即Δ=

53、a

54、2-4a·b>0,即4

55、b

56、2-8

57、b

58、2cos〈a,b〉>0,即-1≤cos〈a,b〉<.所以a与b的夹角范围为.答案 三、解答题11.已知A(2,0),B(0,2),C(cosθ,sinθ),O为坐标原点(1)·=-,求sin2θ的值.(2)若

59、+

60、=,且θ∈(-π,0),求与的夹角.解(1)=(cosθ,sinθ)-(2,0)=(cosθ-2,sinθ)=(cosθ,sinθ)-(0,2)=(cosθ,sinθ-2).·=cosθ(cosθ-2)+sinθ(si

61、nθ-2)=cos2θ-2cosθ+sin2θ-2sinθ=1-2(sinθ+cosθ)=-.∴sinθ+cosθ=,∴1+2sinθcosθ=,∴sin2θ=-1=-.(2)∵=(2,0),=(cosθ,sinθ),∴+=(2+cosθ,sinθ),∴

62、+

63、==.即4+4cosθ+cos2θ+sin2θ=7.∴4cosθ=2,即cosθ=.∵-π<θ<0,∴θ=-.又∵=(0,2),=,∴cos〈,〉===-.∴〈,〉=.12.已知A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈.(1)若

64、

65、=

66、

67、,求角α的

68、值;(2)若·=-1,求的值.解 (1)∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),∴2=(cosα-3)2+sin2α=10-6cosα,2=c

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