2016届《步步高》高考数学大一轮总复习 第3讲 平面向量的数量积

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1、第3讲平面向量的数量积一、选择题1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)A．4　　　　　　　　　　　B．3C．2D．0解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案D2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为(　　)A．0B.C.D.解析∵a·c＝a·＝a·a－a·b＝a2－a2＝0，又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故选D.答案　D3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)．A

2、．4B．3C．2D．0解析　由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案　D4．已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ等于(　　)．A.B.C.D.解析　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.]答案　A

3、5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则

4、a＋b－c

5、的最大值为(　　)．A.－1B．1C.D．2解析　由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为

6、a＋b－c

7、2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有

8、a＋b－c

9、2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，故

10、a＋b－c

11、≤1.答案　B6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝.若平面向量a

12、，b满足

13、a

14、≥

15、b

16、>0，a与b的夹角θ∈，且ab和ba都在集合中，则ab＝(　　)．A.B．1C.D.解析　由定义αβ＝可得ba＝＝＝，由

17、a

18、≥

19、b

20、>0，及θ∈得0<<1，从而＝，即

21、a

22、＝2

23、b

24、cosθ.ab＝＝＝＝2cos2θ，因为θ∈，所以

25、a－3b

26、等于________．解析∵

27、a－3b

28、2＝a2－6a·b＋9b2＝10－6×co

29、s60°＝7，∴

30、a－3b

31、＝.答案8.已知向量,，若，则的值为．解析答案9．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．解析　以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系xOy，则＝(，0)，＝(，1)，设F(t,2)，则＝(t,2)．∵·＝t＝，∴t＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝.答案　10．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若

32、a

33、＝1，则

34、a

35、2＋

36、b

37、2＋

38、c

39、2的值是

40、________．解析　由已知a·c－b·c＝0，a·b＝0，

41、a

42、＝1，又a＋b＋c＝0，∴a·(a＋b＋c)＝0，即a2＋a·c＝0，则a·c＝b·c＝－1，由a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，即a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0，∴a2＋b2＋c2＝－4c·a＝4，即

43、a

44、2＋

45、b

46、2＋

47、c

48、2＝4.答案　4三、解答题11．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．解(1

49、)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为

50、a

51、cosθ.∴

52、a

53、cosθ＝＝＝－＝－.12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形

54、的两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．解　(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．所以

55、＋

56、＝2，

57、－

58、＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.13．设两向量e1，e2满足

59、e1

60、＝2，

61、e2

62、＝1，e1，e2的夹角为60°，若向