高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量的数量积

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1、第3讲平面向量的数量积一、选择题1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则

2、a＋b

3、＝(　　)A.　　　　　　　　　B.C．2D．10解析∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴

4、a＋b

5、＝＝＝＝.故选B.答案B2．设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于(　　)A.B.C．0D．－1解析∵a⊥b，∴1×(－1)＋cosθ·2cosθ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos2θ＝2cos2θ－1.答案C3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)．A．4B．3C

6、．2D．0解析　由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案　D4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且

7、b

8、＝

9、a

10、，则向量a与c的夹角为(　　)A．60°B．30°C．120°D．150°解析由a＋b＋c＝0得c＝－a－b，∴

11、c

12、2＝

13、a＋b

14、2＝

15、a

16、2＋

17、b

18、2＋2

19、a

20、

21、b

22、cos60°＝3

23、a

24、2，∴

25、c

26、＝

27、a

28、，又a·c＝a·(－a－b)＝－

29、a

30、2－a·b＝－

31、a

32、2－

33、a

34、

35、b

36、cos60°＝－

37、a

38、2.设a与c的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，∵0°≤

39、θ≤180°，∴θ＝150°.答案D5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上取一点P，使·有最小值，则P点的坐标是(　　)．A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)解析　设P点坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·有最小值1.∴此时点P坐标为(3,0)，故选C.答案　C6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝.若平面向量a，b满足

40、a

41、≥

42、b

43、>0，a与b

44、的夹角θ∈，且ab和ba都在集合中，则ab＝(　　)．A.B．1C.D.解析　由定义αβ＝可得ba＝＝＝，由

45、a

46、≥

47、b

48、>0，及θ∈得0<<1，从而＝，即

49、a

50、＝2

51、b

52、cosθ.ab＝＝＝＝2cos2θ，因为θ∈，所以

53、×0＋1＝1.又＝，所以·＝(λ－)·＝λ2－·＝λ×1－0＝λ≤1，即·的最大值为1.答案　1　18．在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．解析建立平面直角坐标系，如图．则B(2,0)，C，D.令＝＝λ，则M，N.∴·＝·＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴·∈[2,5]．答案[2,5]9．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若

54、a

55、＝1，则

56、a

57、2＋

58、b

59、2＋

60、c

61、2的值是_____

62、___．解析　由已知a·c－b·c＝0，a·b＝0，

63、a

64、＝1，又a＋b＋c＝0，∴a·(a＋b＋c)＝0，即a2＋a·c＝0，则a·c＝b·c＝－1，由a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，即a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0，∴a2＋b2＋c2＝－4c·a＝4，即

65、a

66、2＋

67、b

68、2＋

69、c

70、2＝4.答案　410．若平面向量a，b满足

71、2a－b

72、≤3，则a·b的最小值是________．解析　由

73、2a－b

74、≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b，而4a2＋b2＝

75、2a

76、2＋

77、b

78、2≥2

79、2

80、a

81、·

82、b

83、≥－4a·b，所以a·b≥－，当且仅当2a＝－b时取等号．答案　－三、解答题11．设向量a，b满足

84、a

85、＝

86、b

87、＝1及

88、3a－2b

89、＝.(1)求a，b夹角的大小；(2)求

90、3a＋b

91、的值．解　(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7，即9

92、a

93、2＋4

94、b

95、2－12a·b＝7，而

96、a

97、＝

98、b

99、＝1，∴a·b＝，∴

100、a

101、

102、b

103、cosθ＝，即cosθ＝，又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.(2)(3a＋b)2＝9

104、a

105、2＋6a·b＋

106、b

107、2＝9＋3＋1＝13，∴

108、3a＋b

109、＝.12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－

110、2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．解　(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)