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《步步高大一轮复习讲义高三数学53平面向量的数量积》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、§5.3 平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量________叫做a和b的数量积(或内积)，记作________________．规定：零向量与任一向量的数量积为______．两个非零向量a与b垂直的充要条件是__________，两个非零向量a与b平行的充要条件是__________．2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度
2、a
3、与b在a的方向上的投影____________的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝__________；(2)非零向量a，b，a
4、⊥b⇔__________；(3)当a与b同向时，a·b＝__________；当a与b反向时，a·b＝____________，a·a＝____________，
5、a
6、＝__________；(4)cosθ＝____________；(5)
7、a·b
8、______
9、a
10、
11、b
12、.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝________(交换律)；(2)(λa)·b＝________＝__________(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝____________.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2
13、，y2)，则a·b＝____________，由此得到(1)若a＝(x，y)，则
14、a
15、2＝__________或
16、a
17、＝__________.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离
18、AB
19、＝
20、
21、＝____________.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔____________.[难点正本 疑点清源]1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2．数量
22、积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．1．(课本改编题)已知向量a和向量b的夹角为135°，
23、a
24、＝2，
25、b
26、＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.2．已知a⊥b，
27、a
28、＝2，
29、b
30、＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．4．(课本精选题)设a，b
31、，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有________(填序号)．①(a·b)c－(c·a)b＝0；②
32、a
33、－
34、b
35、<
36、a－b
37、；③(b·c)a－(a·c)b不与c垂直；④(3a＋4b)·(3a－4b)＝9
38、a
39、2－16
40、b
41、2.5．(2011·辽宁)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于( )A．－12B．－6C．6D．12题型一 平面向量的数量积的运算例1 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则
42、c
43、的最大值是________．(1)若
44、向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正东方向，且
45、a
46、＝
47、b
48、＝1，则(－3a)·(a＋b)＝______.(2)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，
49、
50、＝1，则·等于( ) A．2B.C.D.题型二 向量的夹角与向量的模例2 已知
51、a
52、＝4，
53、b
54、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求
55、a＋b
56、；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．探究提高 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对
57、a
58、＝要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的
59、区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．(1)(浙江高考改编)已知平面向量α，β，
60、α
61、＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求
62、2α＋β
63、的值；(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，
64、a
65、＝1，
66、b
67、＝2，
68、c
69、＝3，求向量a＋b＋c与向量a的夹角．题型三 平面向量的垂直问题例3 已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)．(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)探究提高 (1)当向量a与b是坐标形
70、式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.
