步步高大一轮复习讲义高三数学54平面向量应用举例

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1、§5.4　平面向量应用举例1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔______________⇔_______________________________.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔__________⇔______________.(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝____________＝______________________(θ为a与b的夹角)

2、．2．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．[难点正本　疑点清源]1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑

3、思维的结合．2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．1．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为__________．2．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．3．已知A、B是以C为圆心，半径为的圆上两点，且

4、

5、＝，则·等于(　　)　A．－B.C．0D.4．某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b：“向北走3km”，则a＋b表示(　　)A．向东南走3kmB．向东北走3kmC．向东南走3kmD．向东北走3km题

6、型一　应用平面向量的几何意义解题例1　平面上的两个向量，满足

7、

8、＝a，

9、

10、＝b，且⊥，a2＋b2＝4.向量＝x＋y(x，y∈R)，且a22＋b22＝1.(1)如果点M为线段AB的中点，求证：＝＋；(2)求

11、

12、的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值．探究提高　本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题．求解第(2)问的难点就是如何利用第(1)问的结论来解决新的问题，突破这一难点的关键主要是从设点M为线段AB的中点入手，借助条件及第(1)问的结论，去探究

13、

14、的最大值等问题．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为(　　)　A．三边均不相等的三角形B．直角三

15、角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形题型二　平面向量与解析几何的综合问题例2　已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最小值．探究提高　本题是平面向量与解析几何的综合性问题，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中的最值等问题，该题的难点是向量条件的转化与应用，破解此问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简

16、后运算．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．题型三　向量在解三角形中的应用例3　已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos取最大值时，B的大小．探究提高　向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中条件通过向量给出，通过向量的平行得到一个等式，这时向量的使命便告完成．向量与其他知识的结合往往是这种简单组合，因此这种题目往往

17、较为简单．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为________．5.忽视对直角位置的讨论致误试题：(12分)已知平面上三点A、B、C，向量＝(2－k,3)，＝(2,4)．(1)若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．学生解答展示审题视角　因和已知，则可得(含k的式子)，若三点不能构成三角形，则有三点共线；若△ABC为直角三角形，则有一个角为直角，即某两边构成的角成直角，转化为某两个向量垂直，此时应根据直

18、角顶点不同而进行分类讨论