2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第4讲平面向量应用举例.doc

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1、第4讲平面向量应用举例一、选择题1．已知锐角三角形ABC中，

2、

3、＝4，

4、

5、＝1，△ABC的面积为，则·的值为(　　)A．2B．－2C．4D．－4解析由题意得×

6、

7、×

8、

9、×sinA＝，所以×4×1×sinA＝，故sinA＝，又A为锐角，所以A＝60°，·＝

10、

11、×

12、

13、×cosA＝4×1×cos60°＝2.答案A2．若

14、a

15、＝2sin15°，

16、b

17、＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是(　　)．A.B.C．2D.解析　a·b＝

18、a

19、

20、b

21、cos30°＝8sin15°cos15°×＝4×

22、sin30°×＝.答案　B3.函数y＝tanx－的部分图象如图所示，则(＋)·＝(　　)．A．4B．6C．1D．2解析　由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.答案　B4．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝(　　)A.B.[来源:Z#xx#k.Com]C．1D.解析a∘b＝＝cosθ＝cosθ，b∘a＝cosθ，因为

23、a

24、>0，

25、b

26、>0,0

27、<，且a∘b、b∘a∈，所以cosθ＝，cosθ＝，其中m，n∈N＋，两式相乘，得＝cos2θ，因为0

28、，＋＋＝0，且

29、

30、＝

31、

32、，则在方向上的投影为(　　)．A．1B．2C.D．3解析　如图，由题意可设D为BC的中点，由＋＋＝0，得＋2＝0，即＝2，∴A，O，D共线且

33、

34、＝2

35、

36、，又O为△ABC的外心，∴AO为BC的中垂线，∴

37、

38、＝

39、

40、＝

41、

42、＝2，

43、

44、＝1，∴

45、

46、＝，∴在方向上的投影为.答案　C二、填空题7．在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________.解析　·＝·(＋)＝(＋)·(－)＝2－·－2＝1－×1×2cos60°－×4＝－.答

47、案　－8．已知非零向量，和满足·＝0，且·＝，则△ABC为________三角形．解析∵·＝0，∴cosB＝cosC.∴△ABC为等腰三角形．又∵·＝，∴cos〈·〉＝.∴〈·〉＝∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案等边9．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．解析　若a⊥b，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.9x＋3y＝32x＋3y≥2×＝2×＝6.当且仅当x＝，y＝1时取得最小值．答案　610．已知

48、a

49、＝2

50、b

51、≠0

52、，且关于x的函数f(x)＝x3＋

53、a

54、x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．解析　由题意得：f′(x)＝x2＋

55、a

56、x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝

57、a

58、2－4a·b>0，即4

59、b

60、2－8

61、b

62、2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的夹角范围为.答案　三、解答题11．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m

63、⊥p边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．解(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝×4×sin＝.12．已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈.(

64、1)若

65、

66、＝

67、

68、，求角α的值；(2)若·＝－1，求的值．解　(1)∵＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，∴2＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，2＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，由

69、

70、＝

71、

72、，可得2＝2，即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.又α∈，∴α＝.(2)由·＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝.①又＝＝2sinαcosα.由①式两边分别平方，得1＋2s