高考数学总复习：第4讲平面向量应用举例

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1、第4讲平面向量应用举例【2014年高考会这样考】以平面向量的数量积为工具，考查其综合应用性问题，常与三角函数、解析几何等结合．考点梳理向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔_______________⇔______________.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔_______⇔_____________.1．向量在平面几何中的应用a＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝0x1x2＋y1y2＝0a·b＝0(3)求

2、夹角问题，利用夹角公式与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．2．向量在三角函数中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．向量在解析几何中的应用一个手段实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一

3、个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．无法确定答案B考点自测A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数解析函数f(x)＝x2a·b＋(b2－a2)x－a·b，∵a⊥b，∴a·b＝0，∴f(x)＝(b2－a2)x.∵

4、a

5、≠

6、b

7、，∴b2－a2≠0，∴f(x)为一次函数且是奇函数．故选A.答案A2．(2013·新余模拟)若a，b是非零向量，且

8、a⊥b，

9、a

10、≠

11、b

12、，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是()．A．4,0B．16,0C．2,0D．16,4解析设a与b夹角为α，∵

13、a

14、＝1，

15、b

16、＝2，∴

17、2a－b

18、2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4

19、a

20、

21、b

22、cosα＝8－8cosα，∵α∈[0，π]，∴cosα∈[－1,1]，∴8－8cosα∈[0,16]，即

23、2a－b

24、2∈[0,16]，∴

25、2a－b

26、∈[0,4]．答案AA．2B．4C．5D．10答案D答案x＋2y－4＝0，6.（2013年山东文）在平面直角坐标系中，已知，则实数的值为______若，解∵∴又∵∵∴解得．A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三

27、角形D．等腰直角三角形[审题视点]根据向量式寻找△ABC边、角之间的关系．考向一向量在平面几何中的应用答案C对于此类问题，一般需要灵活运用向量的运算法则、运算律，将已知条件等价变形，从而得到结论．特别地，有的问题还需要依据几何图形选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，然后计算或证明．A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心答案C(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求

28、b＋c

29、的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.[审题视点]根据平面向量的运算性质列式(三角函数式)

30、，进而转化为三角恒等变换和三角函数性质问题．(1)解因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.考向二向量在三角函数中的应用【例2】►设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)求动点P的轨迹方程；[审题视点](1)设出动点P的坐标，化简向量之间的关系，整理即得轨迹方程；(2)利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点P与定点N的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数

31、的最值求解．考向三向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的作用：(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，关键是脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，其坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题起到化繁为简的效果．【命题研究】通过近三年高考试题分析，考查平面向量的有关知识，常与三角函数、解析几何结合在一起在解答题中出现，主要是以三角函数、