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时间:2020-07-19
《高考数学复习专题练习第4讲 平面向量应用举例.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4讲平面向量应用举例一、选择题→→→→1.已知锐角三角形ABC中,
2、AB
3、=4,
4、AC
5、=1,△ABC的面积为3,则AB·AC的值为()A.2B.-2C.4D.-41→→1解析由题意得×
6、AB
7、×
8、AC
9、×sinA=3,所以×4×1×sinA=3,故sin223→→→→A=,又A为锐角,所以A=60°,AB·AC=
10、AB
11、×
12、AC
13、×cosA=4×1×cos260°=2.答案A2.若
14、a
15、=2sin15°,
16、b
17、=4cos15°,a与b的夹角为30°,则a·b的值是().31A.B.3C.23D.2233解析 a·b=
18、a
19、
20、b
21、co
22、s30°=8sin15°cos15°×=4×sin30°×=3.22答案 Bππ3.函数y=tanx-的部分图象如图所示,42→→→则(OA+OB)·AB=().A.4B.6C.1D.2解析 由条件可得B(3,1),A(2,0),→→→→→→→→→∴(OA+OB)·AB=(OA+OB)·(OB-OA)=OB2-OA2=10-4=6.答案 Bα·β4.对任意两个非零的平面向量α和β,定义α∘β=.若两个非零的平面向量a,β·βππb满足a与b的夹角θ∈,,且a∘b和b∘a都在集合Error!中,则a∘b=()(42)53A.B.[来源:Z
23、#xx#k.Com]221C.1D.2a·b
24、a
25、
26、b
27、
28、a
29、
30、b
31、解析a∘b==cosθ=cosθ,b∘a=cosθ,因为
32、a
33、>0,
34、b
35、>0,036、b37、238、b39、40、a41、242、a43、n44、b45、m,且a∘b、b∘a∈Error!,所以cosθ=,cosθ=,其中m,n∈N+,246、b47、248、a49、2m·n21两式相乘,得=cos2θ,因为050、AB=0,则cosB=().1111A.-B.24242929C.D.-3636→→→解析 由4aBC+2bCA+3cAB=0,得→→→→→→→4aBC+3cAB=-2bCA=-2b(BA-BC)=2bAB+2bBC,所以4a=3c=2b.b24+b2-b2a2+c2-b24911由余弦定理得cosB===-.2acb2242··b23答案 A→→6.△ABC的外接圆圆心为O,半径为2,OA+AB+→→→→→AC=0,且51、OA52、=53、AB54、,则CA在CB方向上的投影为().A.1B.2C.3D.3→→→→→解析 如图,由题意可设D为BC的55、中点,由OA+AB+AC=0,得OA+2AD→→→→=0,即AO=2AD,∴A,O,D共线且56、AO57、=258、AD59、,又O为△ABC的外心,∴AO为BC的中垂线,→→→→∴60、AC61、=62、AB63、=64、OA65、=2,66、AD67、=1,→→→∴68、CD69、=3,∴CA在CB方向上的投影为3.答案 C二、填空题7.在平行四边形ABCD中,已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中→→点,则AE·BD=________.→→→1→→→→1→→→→1解析 AE·BD=AD+DC·(BA+BC)=(AD+DC)·(AD-DC)=AD2-(2)22→→1→170、13DC·AD-DC2=1-×1×2cos60°-×4=-.22223答案 -2→→→→ABACACBC→→→→18.已知非零向量AB,AC和BC满足+·BC=0,且·=,→→→→271、AB72、73、AC74、75、AC76、77、BC78、()则△ABC为________三角形.→→ABAC→解析∵+·BC=0,∴cosB=cosC.→→79、AB80、81、AC82、()∴△ABC为等腰三角形.→→ACBC1→→1又∵·=,∴cos〈AC·BC〉=.→→2283、AC84、85、BC86、→→∴〈AC·BC〉=∠ACB=60°,∴△ABC为等边三角形.答案等边9.已知向量a=(x-1,2),87、b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为________.解析 若a⊥b,则4(x-1)+2y=0,即2x+y=2.9x+3y=32x+3y≥2×32x+y=2×32=6.1当且仅当x=,y=1时取得最小值.2答案 61110.已知88、a89、=290、b91、≠0,且关于x的函数f(x)=x3+92、a93、x2+a·bx在R上有极值,32则a与b的夹角范围为________.解析 由题意得:f′(x)=x2+94、a95、x+a·b必有可变号零点,即Δ=96、a97、2-4a·b>0,1即498、b99、2-8100、b101、2cos〈a,b〉>0,即-1≤cos〈a,b〉<.所102、以a与b的夹角范围2π为(,π].3π答案 (,π]3三、解答题11.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m
36、b
37、2
38、b
39、
40、a
41、2
42、a
43、n
44、b
45、m,且a∘b、b∘a∈Error!,所以cosθ=,cosθ=,其中m,n∈N+,2
46、b
47、2
48、a
49、2m·n21两式相乘,得=cos2θ,因为050、AB=0,则cosB=().1111A.-B.24242929C.D.-3636→→→解析 由4aBC+2bCA+3cAB=0,得→→→→→→→4aBC+3cAB=-2bCA=-2b(BA-BC)=2bAB+2bBC,所以4a=3c=2b.b24+b2-b2a2+c2-b24911由余弦定理得cosB===-.2acb2242··b23答案 A→→6.△ABC的外接圆圆心为O,半径为2,OA+AB+→→→→→AC=0,且51、OA52、=53、AB54、,则CA在CB方向上的投影为().A.1B.2C.3D.3→→→→→解析 如图,由题意可设D为BC的55、中点,由OA+AB+AC=0,得OA+2AD→→→→=0,即AO=2AD,∴A,O,D共线且56、AO57、=258、AD59、,又O为△ABC的外心,∴AO为BC的中垂线,→→→→∴60、AC61、=62、AB63、=64、OA65、=2,66、AD67、=1,→→→∴68、CD69、=3,∴CA在CB方向上的投影为3.答案 C二、填空题7.在平行四边形ABCD中,已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中→→点,则AE·BD=________.→→→1→→→→1→→→→1解析 AE·BD=AD+DC·(BA+BC)=(AD+DC)·(AD-DC)=AD2-(2)22→→1→170、13DC·AD-DC2=1-×1×2cos60°-×4=-.22223答案 -2→→→→ABACACBC→→→→18.已知非零向量AB,AC和BC满足+·BC=0,且·=,→→→→271、AB72、73、AC74、75、AC76、77、BC78、()则△ABC为________三角形.→→ABAC→解析∵+·BC=0,∴cosB=cosC.→→79、AB80、81、AC82、()∴△ABC为等腰三角形.→→ACBC1→→1又∵·=,∴cos〈AC·BC〉=.→→2283、AC84、85、BC86、→→∴〈AC·BC〉=∠ACB=60°,∴△ABC为等边三角形.答案等边9.已知向量a=(x-1,2),87、b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为________.解析 若a⊥b,则4(x-1)+2y=0,即2x+y=2.9x+3y=32x+3y≥2×32x+y=2×32=6.1当且仅当x=,y=1时取得最小值.2答案 61110.已知88、a89、=290、b91、≠0,且关于x的函数f(x)=x3+92、a93、x2+a·bx在R上有极值,32则a与b的夹角范围为________.解析 由题意得:f′(x)=x2+94、a95、x+a·b必有可变号零点,即Δ=96、a97、2-4a·b>0,1即498、b99、2-8100、b101、2cos〈a,b〉>0,即-1≤cos〈a,b〉<.所102、以a与b的夹角范围2π为(,π].3π答案 (,π]3三、解答题11.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m
50、AB=0,则cosB=().1111A.-B.24242929C.D.-3636→→→解析 由4aBC+2bCA+3cAB=0,得→→→→→→→4aBC+3cAB=-2bCA=-2b(BA-BC)=2bAB+2bBC,所以4a=3c=2b.b24+b2-b2a2+c2-b24911由余弦定理得cosB===-.2acb2242··b23答案 A→→6.△ABC的外接圆圆心为O,半径为2,OA+AB+→→→→→AC=0,且
51、OA
52、=
53、AB
54、,则CA在CB方向上的投影为().A.1B.2C.3D.3→→→→→解析 如图,由题意可设D为BC的
55、中点,由OA+AB+AC=0,得OA+2AD→→→→=0,即AO=2AD,∴A,O,D共线且
56、AO
57、=2
58、AD
59、,又O为△ABC的外心,∴AO为BC的中垂线,→→→→∴
60、AC
61、=
62、AB
63、=
64、OA
65、=2,
66、AD
67、=1,→→→∴
68、CD
69、=3,∴CA在CB方向上的投影为3.答案 C二、填空题7.在平行四边形ABCD中,已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中→→点,则AE·BD=________.→→→1→→→→1→→→→1解析 AE·BD=AD+DC·(BA+BC)=(AD+DC)·(AD-DC)=AD2-(2)22→→1→1
70、13DC·AD-DC2=1-×1×2cos60°-×4=-.22223答案 -2→→→→ABACACBC→→→→18.已知非零向量AB,AC和BC满足+·BC=0,且·=,→→→→2
71、AB
72、
73、AC
74、
75、AC
76、
77、BC
78、()则△ABC为________三角形.→→ABAC→解析∵+·BC=0,∴cosB=cosC.→→
79、AB
80、
81、AC
82、()∴△ABC为等腰三角形.→→ACBC1→→1又∵·=,∴cos〈AC·BC〉=.→→22
83、AC
84、
85、BC
86、→→∴〈AC·BC〉=∠ACB=60°,∴△ABC为等边三角形.答案等边9.已知向量a=(x-1,2),
87、b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为________.解析 若a⊥b,则4(x-1)+2y=0,即2x+y=2.9x+3y=32x+3y≥2×32x+y=2×32=6.1当且仅当x=,y=1时取得最小值.2答案 61110.已知
88、a
89、=2
90、b
91、≠0,且关于x的函数f(x)=x3+
92、a
93、x2+a·bx在R上有极值,32则a与b的夹角范围为________.解析 由题意得:f′(x)=x2+
94、a
95、x+a·b必有可变号零点,即Δ=
96、a
97、2-4a·b>0,1即4
98、b
99、2-8
100、b
101、2cos〈a,b〉>0,即-1≤cos〈a,b〉<.所
102、以a与b的夹角范围2π为(,π].3π答案 (,π]3三、解答题11.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m
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