步步高大一复习讲义高三数学5.1平面向量的概念及线性运算.doc

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1、§5.1　平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称____)平面向量是自由向量零向量长度为____的向量；其方向是任意的记作____单位向量长度等于________的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向____或____的非零向量0与任一向量____或共线共线向量______________的非零向量又叫做共线向量相等向量长度____且方向____的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度____且方向____的向量0的相反向量为02.向量的线性运

2、算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝________.(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________.减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差______法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

3、λa

4、＝________；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向____；当λ<0时，λa的方向与a的方向____；当λ＝0时，λa＝____λ(μa)＝____；(λ＋μ)a＝_____；λ(a＋b)＝______3.共线向量定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则

5、向量b与非零向量a共线．[难点正本　疑点清源]1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．1．(课本改编题)化简－＋－的结果为________．2．在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝____

6、________.3．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是________．4．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．5．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么(　　)　A.＝B.＝2C.＝3D．2＝题型一　平面向量的概念辨析例1　给出下列命题：①若

7、a

8、＝

9、b

10、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a

11、＝c；④a＝b的充要条件是

12、a

13、＝

14、b

15、且a∥b.其中正确命题的序号是________．探究提高　(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图像移动混为一谈．(5)非零向量a与的关系是：是a方向上的单位向量．判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a与b同向，且

16、a

17、>

18、b

19、，则a>b；(2)若

20、a

21、＝

22、b

23、，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若

24、a

25、＝

26、

27、b

28、，且a与b方向相同，则a＝b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等．题型二　向量的线性运算例2　如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.探究提高　(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运

29、用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．　如图，在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.题型三　平面向量的共线问题例3　设两个非零向量a与b不共线，(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．探究提高　(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的`区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才

30、能得出三点共线．(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋