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《一轮复习配套讲义：第4篇 第3讲 平面向量的数量积》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲 平面向量的数量积[最新考纲]1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知识梳理1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量
2、a
3、
4、b
5、cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝
6、a
7、
8、b
9、cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度
10、a
11、与b在a的方向上的投影
12、b
13、cosθ的乘积．2．平面向量数量积的性质及
14、其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝
15、a
16、
17、b
18、cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：
19、a
20、＝＝.(3)夹角：cosθ＝＝.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)
21、a·b
22、≤
23、a
24、
25、b
26、(当且仅当a∥b时等号成立)⇔
27、x1x2＋y1y2
28、≤·.3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．辨析感悟1．对平面向量的数量积的认识(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘
29、运算的结果是向量．(×)(2)(2013·湖北卷改编)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为－.(×)(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(×)2．对平面向量的数量积的性质、运算律的理解(4)a·b＝0，则a＝0或b＝0.(×)(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(6)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(×)[感悟·提升]三个防范 一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，如(1)；二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．设向量a，b的夹角为θ，当θ为锐角时，投影为正
30、值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0；当θ＝0°时，b在a的方向上投影为
31、b
32、，当θ＝180°时，b在a方向上投影为－
33、b
34、，如(2)；当θ＝0°时，a·b＞0，θ＝180°，a·b＜0，即a·b＞0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件，如(3)；三是a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b，如(4)．考点一 平面向量数量积的运算【例1】(1)(2014·威海期末考试)已知a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，则a·b＝( )．A．2B．3C．4D．5(2)(2013·江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e
35、2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．解析 (1)∵a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)∴b＝2a－(3,1)＝2(1,2)－(3,1)＝(－1,3)．∴a·b＝(1,2)·(－1,3)＝－1＋2×3＝5.(2)由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，所以
36、b
37、＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，所以a在b方向上的射影为
38、a
39、·cos＝＝.答案 (1)D (2)学生用书第74页规律方法求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算
40、律的应用．【训练1】(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )．A．6B．5C．4D．3(2)(2013·山东卷)已知向量与的夹角为120°，且
41、
42、＝3，
43、
44、＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为______．解析 (1)8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30，即18＋3x＝30，解得x＝4.故选C.(2)∵⊥，∴·＝0，∴(λ＋)·＝0，即(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λ2＋2＝0.∵向量与的夹角为120°，
45、
46、＝3，
47、
48、＝2，∴(λ－1)
49、
50、
51、
52、·cos120°－
53、9λ＋4＝0，解得λ＝.答案 (1)C (2)考点二 向量的夹角与向量的模【例2】(1)若非零向量a，b满足
54、a
55、＝3
56、b
57、＝
58、a＋2b
59、，则a与b夹角的余弦值为________．(2)已知向量a，b满足a·b＝0，
60、a
61、＝1，
62、b
63、＝2，则
64、2a－b
65、＝________.解析 (1)等式平方得
66、a
67、2＝9
68、b
69、2＝
70、a
71、2＋4
72、b
73、2＋4a·b，则
74、a
75、2＝
76、a
77、2＋4
78、b
79、2＋4
80、a
81、
82、b
83、cosθ，即0＝4
84、b
85、2＋4·3
86、b
